Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x

Passo 1

Substituindo:

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = 0 1 - 1 3 0 3 = 0 0

Passo 2

Raciocina comigo: temos ali uma diferença de termos ao cubo, no numerador. Ao cubo? Sim, ao cubo, por que aquele 1 pode ser escrito como 1 3 . Ora, uma diferença de termos ao cubo pode ser aberta pelo seguinte produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Nesse caso, o nosso a será 1 e b = cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x

Passo 3

Agora, aquele termo 1 - cos ⁡ x ali pode ser multiplicado por 1 + cos ⁡ x e através do seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Podemos abrir esse cara como:

1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

E talvez você não lembre, mas pela relação fundamental da trigonometria temos o seguinte:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → 1 - cos 2 ⁡ x = sen 2 ⁡ x

Então é isso, vamos multiplicar o termo no denominador e no numerador por 1 + cos ⁡ x .

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ x sen 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Passo 4

Agora a questão é só de simplificar os termos:

lim x → 0 ⁡ x sen 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x

= lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

Repara que cortando o seno ao quadrado com o seno ao cubo surgiu ali um limite fundamental trigonométrico, com aquele x do numerador. Agora é só substituir os valores desse limite e de cos ⁡ 0 = 1 :

lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = 1 + 1 + 1 2 1 1 + 1

= 3 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 1 - cos 3 ⁡ x sen 3 ⁡ x = 3 2

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Calcule. lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x x
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Calcule. lim x → 0 ⁡ x - tg ⁡ x x + tg ⁡ x
Calcule. lim x → p ⁡ tg ⁡ x - p x 2 - p 2 , p ≠ 0
Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p