Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

Elaboração Própria

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x

Passo 1

Substituindo:

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x = 0 1 - 1 3 0 3 = 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Raciocina comigo: temos ali uma diferença de termos ao cubo, no numerador. Ao cubo? Sim, ao cubo, por que aquele 1 pode ser escrito como 1 3 . Ora, uma diferença de termos ao cubo pode ser aberta pelo seguinte produto notável:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Nesse caso, o nosso a será 1 e b = cos x .

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x = lim x 0 x 1 - cos x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x

Passo 3

Agora, aquele termo 1 - cos x ali pode ser multiplicado por 1 + cos x e através do seguinte produto notável:

a - b a + b = a 2 - b 2

Podemos abrir esse cara como:

1 - cos x 1 + cos x = 1 - cos 2 x

E talvez você não lembre, mas pela relação fundamental da trigonometria temos o seguinte:

sen 2 x + cos 2 x = 1 1 - cos 2 x = sen 2 x

Então é isso, vamos multiplicar o termo no denominador e no numerador por 1 + cos x .

lim x 0 x 1 - cos x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x 1 + cos x

= lim x 0 x 1 - cos 2 x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x

= lim x 0 x sen 2 x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x

Passo 4

Agora a questão é só de simplificar os termos:

lim x 0 x sen 2 x 1 + cos x + cos 2 x sen 3 x 1 + cos x = lim x 0 x 1 + cos x + cos 2 x sen x 1 + cos x

= lim x 0 1 + cos x + cos 2 x sen x x 1 + cos x

Repara que cortando o seno ao quadrado com o seno ao cubo surgiu ali um limite fundamental trigonométrico, com aquele x do numerador. Agora é só substituir os valores desse limite e de cos 0 = 1 :

lim x 0 1 + cos x + cos 2 x sen x x 1 + cos x = 1 + 1 + 1 2 1 1 + 1

= 3 2

Resposta

lim x 0 x 1 - cos 3 x sen 3 x = 3 2

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