1. Calcule os limites abaixo:

d. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

Para isso, vamos aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico, que diz:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas repara que nós temos uma função cosseno e não uma função seno. Então aqui vamos aplicar algumas identidades trigométricas para chegarmos em uma função com cara conhecida para aplicarmos o nosso limite fundamental trigonométrico.

Passo 2

Lembra que,

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Então, uma forma de transformar esse cosse em seno é multiplicando pelo seu conjugado. Fica assim:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Ajeitando,

= lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x x 2 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 1 + cos ⁡ x

Repara que podemos escrever o nosso limite assim agora,

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 . lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x

Agora vamos resolver nossos limites em separado.

Passo 3

Resolvendo o primeiro, podemos aplicar diretamente o limite fundamental trigonométrico. Note que

lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 = 1

Agora vamos para o segundo limite!

Passo 4

Calculando,

lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x = 1 1 + cos ⁡ 0 = 1 1 + 1 = 1 2

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Com isso, temos que

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 . lim x → 0 ⁡ 1 1 + cos ⁡ x

Substituindo,

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 1 . 1 2 = 1 2

Fim!

Resposta

1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)