1. Calcule os limites abaixo:
  1. lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x

Como primeira tentativa, vamos substituir o zero na função e ver o que dá!

Calculando o limite ficamos com,

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x = 2 0 2 + 3 sin ⁡ 0 0 2 + 2 0

Como sin ⁡ 0 = 0 , ficamos com

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x = 0 0

Opaaaa! Caímos numa indeterminação! Bora sair dela!

Passo 2

Vamos começar mexendo na função, colocando x em evidência no denominador:

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x x + 2

Repara que agora podemos escrever o nosso limite assim:

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 2 . lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x

Agora vamos resolver cada limite em separado!

Passo 3

Começando por,

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 2

Ficamos com,

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 2 = 2 0 2 + 3 0 + 2 = 2 3

Agora vamos para o próximo!

Passo 4

Para resolver,

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x

Vamos aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico, que diz:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Ou seja, já temos o resultado do nosso segundo limite!

Passo 5

Juntando tudo ficamos com,

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 x + 2 . lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + 3 sin ⁡ x x 2 + 2 x = 3 2 . 1 = 3 2

Prontinho!

Resposta

3 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)