1. Calcule os limites abaixo:

e. lim x → π ⁡ sin ⁡ x x - π

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → π ⁡ sin ⁡ x x - π

Para isso, vamos aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico, que diz:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Mas repara que temos x → π e não x → 0 . Então aqui vamos ter que fazer uma mudança de variável para poder resolver esse limite!

Passo 2

Vamos chamar,

u = x - π

Com isso, se

x → π

Temos que

u → 0

Então ficamos com esse limite,

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( u + π ) u

Agora repara que o argumento de seno, u + π , está diferente do denominador u .

Passo 3

Quando nós temos um caso deste tipo, temos que lembrar π é uma meia volta no circulo trigonométrico. E no caso da função seno, quando damos meia volta completa, nós temos uma mudança de sinal do seno. Então podemos dizer que

sin ⁡ u + π = - sin ⁡ u

Com isso, podemos escrever o nosso limite assim

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( u + π ) u = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ ( u ) u

Aplicando o limite fundamental trigonométrico, temos então que,

lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ ( u ) u = - 1

Prontinho!

Resposta

- 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)