Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x

Passo 1

A primeira coisa que faremos aqui é substituir o limite para ver o que acontece:

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x = 0 0

Ou seja, temos aqui uma indeterminação. Precisamos manipular o limite para chegar no resultado.

Passo 2

Como podemos sair dessa indeterminação? Bem, podemos tentar usar alguma identidade trigonométrica. Temos que, por exemplo: tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x ⟹ - tg 2 ⁡ x = 1 - sec 2 ⁡ x

Dessa identidade, temos 1 - sec 2 ⁡ x bem parecido com o numerador do nosso limite. O problema é que a secante está ao quadrado, o que não acontece no nosso limite.

Bem, mas podemos forçar o quadrado a aparecer se multiplicarmos pelo conjugado 1 + sec ⁡ x , pois a - b a + b = a 2 - b 2 . Para não mudar o limite, precisamos multiplicar, mas também dividir. Fazendo isso então:

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x ⋅ 1 + sec ⁡ x 1 + sec ⁡ x = l i m x → 0 1 - sec 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x

Substituindo a identidade:

l i m x → 0 1 - sec 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x = l i m x → 0 - tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x

Passo 3

Podemos agora simplificar um pouco o limite:

l i m x → 0 - tg 2 ⁡ x x 1 + sec ⁡ x = l i m x → 0 - tg 2 ⁡ x x ⋅ 1 1 + sec ⁡ x = l i m x → 0 - tg 2 ⁡ x x ⋅ l i m x → 0 1 1 + sec ⁡ x =

l i m x → 0 - tg 2 ⁡ x x ⋅ 1 1 + 1 = - 1 2 l i m x → 0 tg 2 ⁡ x x

Passo 4

Agora temos aí uma função trigonométrica dividida por x . Pelo limite fundamental trigonométrico, temos que:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Podemos tentar fazer aparecer esse limite. Para tal, podemos abrir o limite: - 1 2 l i m x → 0 tg 2 ⁡ x x = - 1 2 l i m x → 0 sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x x = - 1 2 lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x ⋅ 1 cos 2 ⁡ x = - 1 2 l i m x → 0 sen ⁡ x x ⋅ l i m x → 0 1 cos 2 ⁡ x ⋅ l i m x → 0 sen ⁡ x

Agora, só substituir os valores:

- 1 2 l i m x → 0 sen ⁡ x x ⋅ l i m x → 0 1 cos 2 ⁡ x ⋅ l i m x → 0 sen ⁡ x = - 1 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x = 0

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Calcule. lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p