Calcule os seguintes limites

( b )   l i m x → 0 s i n ( x ) x - π

Passo 1

Eaew, belezinha?

Essa questão é bastante direta, precisamos calcular o limite

l i m x → π s i n ( x ) x - π

Agora, cada limite costuma ser resolvido de uma maneira diferente, esse em particular é uma função trigonométrica dividida por x , isso está gritando para usarmos o limite fundamental do seno, mas para isso, vamos precisar deixar ela no formato exato do limite fundamental, ou seja

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

Vamos tentar fazer isso! Bora lá!

Passo 2

Primeiro note que ao substituir x = π você obtém simplesmente 0 / 0 então isso é uma indeterminação, se souber e puder usar L’hospital esse é um bom momento, aqui vou fazer manipulando a expressão. Como disse no primeiro passo, precisamos reescrever a expressão para fazer aparecer o nosso limite fundamental, em particular neste caso, vamos fazer a mudança de variável

x ' = x - π

de forma que o limite se torna

l i m x → π s i n ( x ) x - π = l i m x ' → 0 s i n ( x ' + π ) x '

Está mais perto do que precisamos, mas não exatamente ainda, vamos lembrar que

s e n ( x ' + π ) = s e n ( x ' ) c o s ( π ) + s e n ( π ) c o s ( x ' ) = - s e n ( x ' )

em que usei c o s ( π ) = - 1 e s e n ( π ) = 0 . O limite se torna então

l i m x ' → 0 s i n ( x ' + π ) x ' = - l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) x '

Que é exatamente o limite fundamental! Portanto

l i m x → π s i n ( x ) x - π = - l i m x ' → 0 s e n ( x ' ) x ' = - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → π s i n ( x ) x - π = - 1

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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)