Calcule os seguintes limites

( d )   l i m x → 0 3 x 2 s e n ( x ) t a n ( x )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Essa questão é bastante direta, precisamos calcular o limite

l i m x → 0 3 x 2 s e n ( x ) t a n ( x )

Agora, cada limite costuma ser resolvido de uma maneira diferente, esse em particular é uma razão entre funções trigonométricas e x 2 , isso está gritando para usarmos o limite fundamental do seno, mas para isso, vamos precisar deixar ela no formato exato do limite fundamental, ou seja

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

Vamos tentar fazer isso! Bora lá!

Passo 2

Primeiro note que ao substituir x = 0 você obtém simplesmente 0 / 0 então isso é uma indeterminação, se souber e puder usar L’hospital esse é um bom momento, aqui vou fazer manipulando a expressão. Como disse no primeiro passo, precisamos reescrever a expressão para fazer aparecer o nosso limite fundamental, em particular neste caso, podemos lembrar que

t a n ( x ) = s e n ( x ) c o s ( x )

de forma que o limite se torna

l i m x → 0 3 x 2 s e n ( x ) t a n ( x ) = l i m x → 0 3 x 2 s e n 2 ( x ) / c o s ( x ) = l i m x → 0 c o s ( x ) l i m x → 0 3 x 2 s e n 2 ( x )

note que podemos escrever o segundo limite de forma que

l i m x → 0 c o s ( x ) l i m x → 0 3 x 2 s e n 2 ( x ) = 3 l i m x → 0 c o s ( x ) [ l i m x → 0 x s e n ( x ) ] 2

o segundo limite é bem parecido com o fundamental, mas não exatamente, mas isso não é problema, já que pode ser escrito como

l i m x → 0 x s e n ( x ) = l i m x → 0 1 s e n ( x ) x

ao avaliar o limite no denominador, temos o limite fundamental, portanto, esse limite se torna

l i m x → 0 1 s e n ( x ) x = 1 ( 1 ) = 1

Voltando ao limite original, temos que

l i m x → 0 3 x 2 s e n ( x ) t a n ( x ) = 3 ( 1 ) ( 1 ) 2 = 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 0 3 x 2 s e n ( x ) t a n ( x ) = 3

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