Calcule os seguintes limites

( e )   l i m x → 0 x + s e n ( x ) x 2 - s e n ( x )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Essa questão é bastante direta, precisamos calcular o limite

l i m x → 0 x + s e n ( x ) x 2 - s e n ( x )

Agora, cada limite costuma ser resolvido de uma maneira diferente, esse em particular é uma razão entre funções trigonométricas e x , isso está gritando para usarmos o limite fundamental do seno, mas para isso, vamos precisar deixar ela no formato exato do limite fundamental, ou seja

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

Vamos tentar fazer isso! Bora lá!

Passo 2

Primeiro note que ao substituir x = 0 você obtém simplesmente 0 / 0 então isso é uma indeterminação. Se souber e puder usar L’hospital esse é um bom momento. Aqui vou fazer manipulando a expressão.

Como disse no primeiro passo, precisamos reescrever a expressão para fazer aparecer o nosso limite fundamental, em particular neste caso, podemos dividir numerador e denominador por x para obter

l i m x → 0 x + s e n ( x ) x 2 - s e n ( x ) = l i m x → 0 1 + s e n ( x ) / x x - s e n ( x ) / x

distribuindo o limite por todos os termos temos que

l i m x → 0 1 + s e n ( x ) / x x - s e n ( x ) / x = 1 + l i m x → 0 s e n ( x ) / x l i m x → x - l i m x → 0 s e n ( x ) / x

Note que o limite fundamental aparece em alguns dos termos, portanto, podemos dizer que

1 + l i m x → 0 s e n ( x ) / x l i m x → x - l i m x → 0 s e n ( x ) / x = 1 + ( 1 ) 0 - ( 1 ) = 2

ou seja, temos

l i m x → 0 x + s e n ( x ) x 2 - s e n ( x ) = 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 0 x + s e n ( x ) x 2 - s e n ( x ) = 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)