Calcule os seguintes limites

( f )   l i m x → 0 x - t a n ( x ) x + t a n ( x )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Essa questão é bastante direta, precisamos calcular o limite

l i m x → 0 x - t a n ( x ) x + t a n ( x )

Agora, cada limite costuma ser resolvido de uma maneira diferente, esse em particular é uma razão entre funções trigonométricas e x , isso está gritando para usarmos o limite fundamental do seno, mas para isso, vamos precisar deixar ela no formato exato do limite fundamental, ou seja

l i m x → 0 s e n ( x ) x = 1

Vamos tentar fazer isso! Bora lá!

Passo 2

Primeiro note que ao substituir x = 0 você obtém simplesmente 0 / 0 então isso é uma indeterminação, se souber e puder usar L’hospital esse é um bom momento, aqui vou fazer manipulando a expressão. Como disse no primeiro passo, precisamos reescrever a expressão para fazer aparecer o nosso limite fundamental, em particular neste caso, vamos usar primeiro que

t a n ( x ) = s e n ( x ) / c o s ( x )

de maneira que

l i m x → 0 x - t a n ( x ) x + t a n ( x ) = l i m x → 0 x - s e n ( x ) / c o s ( x ) x + s e n ( x ) / c o s ( x )

agora, se dividirmos numerador e denominador por x , temos que

l i m x → 0 1 - ( s e n ( x ) / x ) c o s ( x ) 1 + ( s e n ( x ) / x ) c o s ( x )

distribuindo o limite por todos os termos temos que

l i m x → 0 1 - ( s e n ( x ) / x ) c o s ( x ) 1 + ( s e n ( x ) / x ) c o s ( x ) = 1 - ( l i m x → 0 s e n ( x ) / x ) l i m x → 0 c o s ( x ) 1 + ( l i m x → 0 s e n ( x ) / x ) l i m x → 0 c o s ( x )

Note que o limite fundamental aparece em alguns dos termos, portanto, podemos dizer que

1 - ( l i m x → 0 s e n ( x ) / x ) l i m x → 0 c o s ( x ) 1 + ( l i m x → 0 s e n ( x ) / x ) l i m x → 0 c o s ( x ) = 1 - ( 1 ) ( 1 ) 1 + ( 1 ) ( 1 ) = 0

ou seja, temos

l i m x → 0 x - t a n ( x ) x + t a n ( x ) = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → 0 x - t a n ( x ) x + t a n ( x ) = 0

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