Calcule os seguintes limites, caso existir, justificando também se não existir

b )   lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x 5 x 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x 5 x 2

Mas calma! Antes vamos relembrar de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima

Estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x 5 x 2

E lembrar do terceiro limite fundamental daquele quadro em roxo do passo anterior

lim x → 0 ⁡ t g ( x ) x = 1

Temos algo parecido, não é? Sim! Então é ele que vamos usar! Mas calma!

5 atrapalhando! Como é uma constante, pode sair para fora do limite, multiplicando o resultado

lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x 5 x 2 = 1 5 .   lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x x 2

Beleza?

Passo 3

A ideia agora é #manipulação

1 5 .   lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x x 2

Nota que tanto o numerador quanto o denominador estão elevados ao quadrado? Então, podemos juntar isso em uma potência só:

1 5 .   lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x x 2 = 1 5 .   lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x 2

E agora?

Precisamos lembrar que o limite é um operador linear: isso significa que ele pode entrar e sair de potências! E esse é nosso truque sujo do dia! Anota aí! Vamos passar o limite para dentro da potência quadrada:

1 5 .   lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x 2 = 1 5 lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x 2

Viu que legal! Agora chegou a hora de usar o resultado do limite fundamental!

O limite fundamental é

lim x → 0 ⁡ t g ( x ) x = 1

Então o nosso limite fica assim

1 5 .   lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x 2 = 1 5 lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x 2 = 1 5 lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x ⏝ = 1 2 = 1 5 . 1 2 = 1 5

Aí por fim

lim x → 0 ⁡ tan 2 ⁡ x 5 x 2 = 1 5

E é isso!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

1 5

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)