Calcule os seguintes limites:

c) lim x → + ∞ ⁡ e 1 / x arctan ⁡ ( x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = e 1 / x arctan ⁡ ( x ) quando o valor de x vai pra mais infinito, ou seja, quando ele tende a valores infinitamente grandes e positivos.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos uma indeterminação, porque nossa denominador zeraria. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação e conseguir avaliar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → + ∞ ⁡ e 1 x arctan ⁡ x

A gente pode separar esse limite assim:

l i m x → + ∞ e 1 x lim x → + ∞ arctan ⁡ x

Agora vamos analisar cada limite. Repare que quando x tende a valores muito grandes, nossa fração no denominador se aproxima muito de zero, e qualquer número elevado a zero é igual a 1 . Então, temos:

l i m x → + ∞ e 1 x = 1

E o arco tangente? Vamos dar uma olhadinha no gráfico dessa função pra perceber o que acontece:

Repare que quando a nossa curva vai pra infinito do lado direito, ela se aproxima cada vez mais de π 2 . Portanto,

lim x → + ∞ arctan ⁡ x = π 2

Assim, nosso limite original vai ficar assim:

l i m x → + ∞ e 1 x lim x → + ∞ arctan ⁡ x = 1 π 2 = 2 π

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e 1 / x arctan ⁡ ( x ) = 2 π

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)