1. Calcule os seguintes limites:

b. lim x → 1 ⁡ tan ⁡ x - 1 x - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos o seguinte limite para resolver:

lim x → 1 ⁡ tan ⁡ x - 1 x - 1

A gente sempre começa substituindo o valor por onde x está tendendo na função. Sendo assim, substituindo 1 na equação ficamos com,

lim x → 1 ⁡ tan ⁡ x - 1 x - 1 = tan ⁡ 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Opaaa, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então bora determinar esse limite!

Passo 2

Galerinha, repara que a nossa função tem uma função trigonométrica tan ⁡ x - 1 sobre uma função algébrica x - 1 . Então, agora, vem a dica: quando encontrarmos um limite com essa cara, vamos tentar resolver pelo Limite Fundamental Trigonométrico.

Para quem não lembrar ele diz:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Mas, nós temos uma função tangente e não seno no nosso limite! Então vamos usar nossos conhecimentos de trigonometria e fazer

tan ⁡ x - 1 = sin ⁡ x - 1 cos ⁡ x - 1

Então o nosso limite fica assim,

lim x → 1 ⁡ tan ⁡ x - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1 cos ⁡ x - 1

Podemos separar o nosso limite em dois,

lim x → 1 ⁡ tan ⁡ x - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1 . lim x → 1 ⁡ 1 cos ⁡ x - 1

Vamos resolve-los em separado!

Passo 3

Para o primeiro temos,

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1

Nele nós temos uma função seno, mas repara que dentro dela temos um x - 1 e o nosso x está tendendo a 1 e não a zero, como no Limite Fundamental Trigonométrico.

Então vamos fazer uma mudança de variável! Vamso considerar

u = x - 1

Logo,

u → 0

Remontando o nosso limite e usando o Limite Fundamental Trigonométrico, ficamos com

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Vamos para o próximo!

Passo 4

Tinhamos,

lim x → 1 ⁡ 1 cos ⁡ x - 1

Calculando esse limite, ficamos com

lim x → 1 ⁡ 1 cos ⁡ x - 1 = 1 cos ⁡ 0 = 1

Passo 5

Por fim, vamos juntar tudo

lim x → 1 ⁡ tan ⁡ x - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ sin ⁡ x - 1 x - 1 . lim x → 1 ⁡ 1 cos ⁡ x - 1

lim x → 1 ⁡ tan ⁡ x - 1 x - 1 = 1 . 1 = 1

Prontinho!

Resposta

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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)