Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de l'Hôspital):

a)  l i m x → 0   x 2 s e n ⁡ ( 1 / x )

Passo 1

Para calcular o limite l i m x → 0   x 2 s i n ⁡ 1 x sem usar a regra de l'Hôpital, podemos utilizar o fato de que o valor absoluto da função seno está sempre limitado entre -1 e 1. Ou seja, | s i n ⁡ ( θ ) | ≤ 1 para qualquer valor de θ . Vamos usar essa propriedade para encontrar um limite superior e inferior para a expressão dada.

Primeiro, note que x 2 tende a 0 à medida que x se aproxima de 0 , e a função seno oscila entre - 1 e 1. Portanto, podemos escrever:

- x 2 ≤ x 2 s i n ⁡ 1 x ≤ x 2

Passo 2

Agora, vamos analisar os limites dos lados direito e esquerdo à medida que x se aproxima de 0:

l i m x → 0   - x 2 = 0

l i m x → 0   x 2 = 0

Dado que ambos os limites laterais se aproximam de 0 , podemos usar o teorema do confronto para concluir que:

l i m x → 0   x 2 s i n ⁡ 1 x = 0 .

Resposta

Portanto, o limite l i m x → 0   x 2 s i n ⁡ 1 x é igual a 0 , sem a necessidade de usar a regra de I'Hôpital.

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)