Calcule, sem usar regra de L’Hôspital, os limites abaixo ou prove que não existe. Justifique suas respostas:

  1. lim x → 0 ⁡ 3 x cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x + 2 x
  2. lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 - 1
  3. lim x → - 2 + ⁡ 6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2
  4. Seja g : I R → I R uma função tal que - x 4 ≤ g x ≤ x 4 para todo x ∈ I R . Usando o teorema do confronto, calcule o limite (e justifique)

lim x → 0 + ⁡ g x x

Passo 1

Fala galera bonita, tudo certo? Bom, pra começar, a gente sempre mas seeeempre checa primeiro os limites substituindo o valor proposto. Se não der indeterminação, tamos feitos! Vamos ter:

  1. lim x → 0 ⁡ 3 x cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x + 2 x = 3 ∙ 0 ∙ 1 + 0 ∙ 1 0 ∙ 1 2 + 2 ∙ 0 = 0 0
  2. lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 - 1 = 1 - 1 2 - 1 - 1 = 0 1 - 1 = 0 1 - 1 = 0 0
  3. lim x → - 2 + ⁡ 6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2 = 6 ∙ 4 - - 2 + - 2 2 ∙ 4 - - 3 ∙ 2 + - 2 = 24 - 2 - 2 8 - - 6 - - 2 = 20 0 - = - ∞

É pessoal, duas indeterminações. Então não tem jeito! Vamos precisar mexer nesses limites das letra a , b até eles ganharem uma forma que suma a indeterminação.

Maaaaas, não vamos precisar fazer o mesmo na letra c . Afinal, não temos uma indeterminação! O limite já está pronto, na mão, e vamos dizer que ele não existe! A gente sempre diz que não existe quando:

  • Ele é incalculável, como por exemplo lim x → ± ∞ ⁡ sin ⁡ x
  • Ele é calculável, porém resulta em ± ∞

Passo 2

Letra a)

Pra letra a ) a macete vai estar em ver que ela é uma função que tem fração de polinômio e função trigonométrica. Quem tem essa cara também é o limite fundamental trigonométrico! Vamos então tentar fazer surgir:

lim a → 0 ⁡ sen ⁡ a a = 1

Pra isso, uma boa ideia, pra fazer o seno aparecer, é dividir em cima e em baixo por termos de x . Saca só:

lim x → 0 ⁡ 3 x cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x + 2 x ∙ 1 x 1 x = lim x → 0 ⁡ 3 cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x x sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x x + 2 = lim x → 0 ⁡ 3 cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x x + 2

Essa estratégia é legal porque não só começa a preparar terreno pro limite fundamental trigonométrico aparecer, como também elimina o x multiplicando as funções trigonométricas que são responsáveis por zerar alguns termos. Agora, sendo:

sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Vamos ter, manipulando:

sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x 2

sen ⁡ x cos 2 ⁡ x = sen ⁡ 2 x 2 cos ⁡ x

Vamos ter, pro limite no numerador:

lim x → 0 ⁡ 3 cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x 2 x

= lim x → 0 ⁡ 3 cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x 2 x

Aplicando as propriedades do limite, isso é o mesmo que:

= 3 ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x 2 x

= 3 ∙ 1 + 1 = 4

Agora pro denominador, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x 2 cos ⁡ x x + 2 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x ∙ cos ⁡ x 2 x + 2

O que, pelas propriedades dos limites, é o mesmo que:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x 2 x ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x + lim x → 0 ⁡ 2

= 1 ∙ 1 + 2 = 3

O limite então será:

lim x → 0 ⁡ 3 x cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x + 2 x = 4 3

Ufa! Complicada essa! Bora pra próxima!

Passo 3

Letra b)

Pra letra b) o truque vai ser olhar pra raiz e pensar: humm, se eu me livrar dela, as coisas ficam mais fáceis, né? Então, uma forma de fazermos isso, é multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo:

lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 - 1 ∙ 2 x - x 2 + 1 2 x - x 2 + 1 = lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 + 1 - x 2 + 2 x - 1

Galera, olha, não resolvemos o problema ainda. Afinal, o denominador continua zerando quando substituímos x = 1 e o numerador também. Mas olha só a malandragem:

- x 2 + 2 x - 1 = - x 2 - 2 x + 1

Opa, isso aí é um trinômio quadrado perfeito! O limite vira:

= lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 + 1 - x 2 - 2 x + 1 = lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 + 1 - x - 1 2

= l i m x → 1 + - 2 x - x 2 + 1 x - 1

E agora sim a indeterminação sumiu, quer ver?

= - 2 - 1 + 1 1 + - 1 = - 1 + 1 0 + = 1 + 1 0 - = 2 0 - = - ∞

Portanto o limite não existe dessa vez!

Passo 4

Letra d)

Pra gente fechar com chave de ouro, bora fazer a letra d . Ela nos dá:

- x 4 ≤ g x ≤ x 4

lim x → 0 + ⁡ g x x

Um bom primeiro passo então será dividir a inequação toda por x . Assim, g x ganha a exata cara do limite que o enunciad pede

- x 4 x ≤ g x x ≤ x 4 x

- x 3 ≤ g x x ≤ x 3

Aplicando o limite, temos:

lim x → 0 + ⁡ - x 3 ≤ lim x → 0 + ⁡ g x x ≤ lim x → 0 + ⁡ x 3

0 ≤ lim x → 0 + ⁡ g x x ≤ 0

E veja só, se o limite está entre 0 e 0 , ele só pode ser 0 . É como se tivéssemos três funções

Onde

g ' x = g x x

f x = - x 3

h x = x 3

Se g x está sempre entre esses dois carinhas e eles tem um limite L em comum pra x → a , pra esse mesmo x → a o limite de g x também dará L . Afinal, não tem muito pra onde g x fugir já que ele tem que ficar preso ali entre f , g !

Resposta

Justificativas no decorrer da resolução

Respostas:

  1. lim x → 0 ⁡ 3 x cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x + 2 x = 4 3
  2. lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 x - x 2 - 1 = - ∞
  3. lim x → - 2 + ⁡ 6 x 2 + x - 2 2 x 2 + 3 x - 2 = - ∞
  4. lim x → 0 + ⁡ g x x = 0

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)