28. Determine o limite nos seguintes exercícios.

d) lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular o lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x .

Pra isso, vamos lembrar da igualdade trigonométrica:

tan ⁡ 3 x = sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x

E do limite fundamental:

lim a → 0 ⁡ sen ⁡ a a = 1

Também vamos usar as propriedades de limites:

lim x → b ⁡ f x g x = lim x → b ⁡ f x lim x → b ⁡ g x

lim x → b ⁡ f x g x = lim x → b ⁡ g x lim x → b ⁡ g x

Passo 2

Agora vamos fazer um bocado de manipulações pra usar esse limite fundamental...

Primeiro substituindo a igualdade trigonométrica citada no passo 1:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x

Agora vamos precisar fazer aparecer o limite fundamental. Repara que podemos multiplicar em cima e embaixo por 3 x e por 8 x , que aí vai acabar aparecendo, né?

Vamos separar usando as propriedades de limites:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x = lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x sen ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x

= lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x

O primeiro limite, quando substituímos x :

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x = 1 cos ⁡ 3 0

= 1

Então:

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x = 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x

Passo 3

Agora vamos precisar fazer aparecer o limite fundamental. Repara que podemos multiplicar em cima e embaixo por 3 x e por 8 x , que aí vai acabar aparecendo, né?

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x sen ⁡ 8 x ⋅ 3 x 3 x ⋅ 8 x 8 x

Agrupando o que for mais parecido com o limite fundamental:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x ⋅ 8 x sen ⁡ 8 x ⋅ 3 x 8 x

Usando a propriedade de limites:

= lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x ⋅ 8 x sen ⁡ 8 x ⋅ 3 x 8 x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x lim x → 0 ⁡ 8 x sen ⁡ 8 x lim x → 0 ⁡ 3 x 8 x

Passo 4

Resolvendo o primeiro limite, podemos fazer uma substituição de variável:

u = 3 x

Quando x tende a zero, 3 x também tende a zero, né? então u vai tender a zero.

O primeiro limite fica:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

E esse é o limite fundamental, então:

= 1

Portanto:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x = 1

Passo 5

Resolvendo o segundo limite, podemos fazer uma substituição beeem similar à de cima:

v = 8 x

Quando x tende a zero, 8 x também tende a zero, né? então v vai tender a zero.

Daí fica:

lim x → 0 ⁡ 8 x sen ⁡ 8 x = lim v → 0 ⁡ v sen ⁡ v

Podemos reescrever esse limite como:

= lim v → 0 ⁡ 1 sen ⁡ v v

Usando a propriedade de limite:

= lim v → 0 ⁡ 1 lim v → 0 ⁡ sen ⁡ v v

= 1 1

= 1

Portanto:

lim x → 0 ⁡ 8 x sen ⁡ 8 x = 1

Passo 6

Resolvendo o terceiro limite:

lim x → 0 ⁡ 3 x 8 x = lim x → 0 ⁡ 3 8

= 3 8

Agora juntando tudo, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 3 x 3 x lim x → 0 ⁡ 8 x sen ⁡ 8 x lim x → 0 ⁡ 3 x 8 x = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 8

= 3 8

Resposta

3 8

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