Q01b) Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista. Justifique suas respostas:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 2 x 2

Passo 1

Opa, vamos lá. Como primeiro passo pra qualquer limite, a gente tem que substituir primeiro pra ver o que acontece. Vamos lá então?

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 2 x 2 = 0 2 0 2 = 0 0

Eita! Indeterminação! Então já viu que não da só pre substituir. Vamos ter que dar uma mexida nesse limite pra ele responder seu valor correto pra gente!

Passo 2

Veja bem, esse limite tem algo próximo de sin ⁡ x em cima e algo próximo de x em baixo. Que limite que tem essa cara? Se você pensou no limite fundamental trigonométrico, ta certíssimo!

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1  

Mas não é exatamente a mesma coisa que o fundamental trigonométrico. Felizmente, isso não atrapalha a gente! Da uma olhada nessa modificada:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x 2

Ok, mas isso mudou algo? Mudou sim, porque agora a gente pode usar das propriedades dos limites e escrever:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x 2 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x 2

Show mas....ainda não achei um limite fundamental trigonométrico ai dentro. Calma gafanhoto, olha o que ainda da pra fazer:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x x 2 = lim x → 0 ⁡ 4  sin ⁡ 4 x 4 x 2

Multiplicando em cima e em baixo por 4 é como se estivéssemos multiplicando por 1 , então não da ruim. Agora sim, viu? Temos o que te dentro do seno exatamente idêntico ao que está em baixo. Dai em diante é só ir dando umas mexidinhas a mais:

lim x → 0 ⁡ 4  sin ⁡ 4 x 4 x 2 = 4 ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 4 x 2 = 4 ∙ 1 2 = 16

Fechamos então:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 2 x 2 = 16

Resposta

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x 2 x 2 = 16

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