Determine o cone circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio 3 .

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos um problema de otimização. Basicamente, temos uma esfera de raio R = 3 e queremos inscrever um cone circular reto dentro dela, de modo que ele tenha o maior volume possível.

Vocês lembram qual a expressão que determina o volume de um cone circular reto? Bora revisar:

V = π r 2 3 ⋅ h

onde r é o raio da base do cone e h a sua altura.

Queremos que essa expressão seja máxima, então a ideia é a mesma de todos os problemas otimização: derivamos e igualamos a zero.

A grande dificuldade é que temos duas variáveis nessa função, e precisamos derivá-la apenas em relação a uma das duas.

Assim, vamos usar o fato do cone estar inscrito em uma esfera pra conseguir alguma relação entre o raio e a altura do cone.

Vem com a gente que vai dar bom 😊

Passo 2

Então galera, pra começar vamos extrair uma equação relacionada à geometria do cone inscrito em uma circunferência.

A nossa secção transversal dessa situação nos dá a seguinte configuração:

onde 3 é o raio da esfera, h a altura do cone e r o raio da base do cone.

Daí, pelo teorema de Pitágoras no triângulo retângulo que apareceu lá embaixo, temos:

h - 3 2 + r 2 = 3 2

⇒ r 2 = 9 - h 2 - 6 h + 9

Logo:

r 2 = 6 h - h 2

Essa é a relação que precisávamos. Agora já sabemos uma relação entre r e h , então podemos substituir na nossa equação do volume do cone:

V = π r 2 3 ⋅ h

Substituindo...

V = π 3 ⋅ 6 h - h 2 h

V = π 3 ( 6 h 2 - h 3 )

Muito bem, agora podemos trabalhar a ideia da otimização.

Passo 3

Queremos calcular r e h que fazem V ser o maior possível, sabendo que:

V = π 3 ( 6 h 2 - h 3 )

Então, podemos derivar V com relação a h para encontrar os pontos de máximos e mínimos da função.

Temos:

d V d h = π 3 ⋅ 12 h - 3 h 2 = 0

Daí, vem:

12 h - 3 h 2 = 0

∴ 3 h 2 = 12 h

⇒ h 2 = 4 h

Daí, temos duas soluções:

h = 0 h = 4

h = 0 claramente vai nos dar um ponto de mínimo, pois irá zerar o valor do volume. Sendo assim, o valor que estamos procurando para maximizar o volume é:

h = 4

Pra determinar o raio da base do cone, podemos substituir na expressão que encontramos anteriormente:

r 2 = 6 h - h 2

∴ r 2 = 6 ⋅ 4 - 4 2

⇒ r = 8 = 2 2

Perfeito galerinha! Com isso matamos a questão 😊

Até a próxima!!

Resposta

h = 4 ,   r = 2 2

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