Exercícios Resolvidos de Momento Angular

UNICAMP, Física 1, P3 - 2017.2 Diurno, Questão 12

Um aro de massa Equation e raio Equation está em repouso no topo de um plano inclinado, como mostrado. O aro rola plano abaixo sem deslizar. Quando ele atinge a base do plano seu momento angular em torno de seu centro de massa é:

Dados: Momento de inércia de um anel uniforme (massa Equation , raio Equation ) em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular ao plano do anel: Equation .

A. Equation

B. Equation

C. Equation

D. Equation

E. Equation

Passo 1

Queremos o momento angular Equation do aro no instante em que ele chega ao plano.

Podemos calcular o momento angular com a seguinte expressão:

Equation

Já temos o momento de inércia de um aro com relação a um eixo passando pelo seu centro:

Equation

Porém, ainda não sabemos a velocidade angular Equation .

Para isso, podemos tentar ir pelo caminho de energia...

Mas será que a energia mecânica se conserva?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Existem Equation forças atuando sobre o aro, a pergunta é se alguma delas retira energia do sistema.

Força Peso:

A força peso é uma força conservativa, então ela não retira energia do sistema, apenas converte energia potencial em cinética e vice-versa.

Força Normal:

A força normal é uma força não-conservativa, entretanto, ela está sempre perpendicular à superfície da rampa.

Como o aro se move ao longo da rampa, a força normal será perpendicular ao deslocamento a todo instante e não realizará trabalho.

Então, essa força não retira energia do sistema.

Força de Atrito:

A força de atrito é uma força não-conservativa, porém assim como a força normal, ela também não realiza trabalho.

Isso porque o aro rola sem deslizar, então o ponto de contato onde a força de atrito está aplicado não se move e por isso o trabalho é nulo.

Assim, essa força também não retira energia do sistema.

Ouuuuuu sejaaaaa...

A energia mecânica do sistema se conserva!!!

Equation

Passo 3

Vamos achar a velocidade angular Equation a partir da conservação da energia mecânica e depois encontrar o momento angular Equation .

A energia mecânica inicial está toda na forma de potencial gravitacional Equation , pois o aro tem velocidade zero:

Equation

Enquanto a energia final estará na forma tanto de energia cinética de rotação Equation quanto energia cinética de translação Equation :

Equation

Essas energias cinéticas podem ser calculadas com:

Equation

Então, temos:

Equation

Assim, a conservação ficará:

Equation

Equation

Substituindo o momento de inércia Equation do aro:

Equation

Cortando as massas:

Equation

Equation

Porém, também não temos o valor de velocidade do centro de massa Equation , né?

Passo 4

Não conhecemos seu valor, mas conseguimos relacioná-lo com Equation , já que é um rolamento sem deslizamento a partir de :

Equation

Substituindo isso dentro da expressão, temos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 5

Por fim, conseguimos o valor do momento angular com o momento de inércia Equation e a velocidade angular Equation :

Equation

Equation

Equation

Ficamos com a letra A.

Resposta

Letra A.

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