Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação, Momento Angular

Imagine que um objeto de perfil circular (com raio r , massa m e momento de inércia I ) seja colocado no ponto A da canaleta ilustrada abaixo com velocidade inicial nula. O atrito entre esse objeto e a canaleta é suficiente para que ele role sem deslizar e a resistência do ar é desprezível.

a ) Esboce o diagrama das forças que agem sobre o objeto quando ele está no ponto A da trajetória e escreva as equações do movimento, de translação e de rotação (não é necessário resolvê-las).

b ) O ponto D da trajetória indica o ponto mais alto que o objeto atinge após ser atirado verticalmente para cima, em C . Explique em até duas linhas legíveis porque a velocidade angular do objeto, em torno do seu centro de massa, em C e em D são iguais.

c ) Considere os seguintes perfis de densidade para o objeto (quanto mais escuro, mais denso), todos com a mesma massa. Liste-os, em ordem crescente de momento de inércia.

d ) Para qual dos perfis acima o corpo sobe mais (ou seja, a distância h é menor)?

e ) Calcule a altura h em função dos parâmetros r , m , I , H e R .

Passo 1

a )

Bom visto que o corpo não possui movimento na vertical, ao decompor a força Peso podemos construir a relação:

P . cos ⁡ θ - N = 0

Sendo θ o ângulo de inclinação entre o plano e a horizontal.

Aplicando a segunda lei de Newton na horizontal F → = m . a → :

F R e s u l = m . a

P . sen ⁡ θ - F a t = m . a

Aplicando a Lei de rotação τ → = I . α :

τ = I . α

Apenas a força de atrito faz torque no objeto. Lembrando que o torque nada mais é que o produto vetorial entre a força aplicada e a distância do ponto de aplicação ao eixo de rotação.

r . F a t = I . α

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Basta lembrar que:

d L d t = τ

Ou seja, A partir do ponto C , a força de atrito que produzia torque no objeto não existe mais, e se não tiver torque, o momento angular tem que ser constante. Lembrando que L = I . ω , e que o momento de inercia é constante. Logo, a velocidade angular obrigatoriamente tem que ser constante!

Passo 3

c )

Visto que o momento de inércia é calculado por:

I = ∫ r →   d m

Para maximizar o momento de inércia, pela fórmula, o vetor r → (distância ao eixo de rotação) precisa ser o maior possível considerando objetos de mesma massa.

Logo, quanto mais massa concentrada próxima ao eixo de rotação, menor o momento de inércia.

Temos então a ordem dos perfis: 2, 3, 1 e 4.

Passo 4

d )

Utilizando a conservação de energia mecânica do ponto A ao D temos que:

m g H = m g H - h + 1 2 I ω 2

Então observamos que se a energia de rotação diminuir, isso terá que ser compensado com um aumento na energia potencial, diminuindo h .

Logo, para diminuir a energia de rotação precisamos escolher o objeto com o menor momento de inércia, que é o perfil 2.

Passo 5

e )

A energia mecânica do objeto nos pontos da canaleta são:

E A = m g H

E C = m g R + 1 2 m v C 2 + 1 2 I ω C 2

E D = m g H - h + 1 2 I ω D 2

Utilizando a condição de não deslizamento v = ω r e lembrando que ω D = ω C (item b ), as expressões podem ser reescritas assim:

E A = m g H

E C = m g R + 1 2 m ω C r 2 + 1 2 I ω C 2

E C = m g R + 1 2 ω C 2 m r 2 + I

E D = m g H - h + 1 2 I ω C 2

Como a força gravitacional é conservativa e a força de atrito, responsável pelo rolamento do objeto, não realiza trabalho (pois não há deslizamento), a energia mecânica é conservada. Logo, E A = E C = E D . Para obter a altura h igualamos as energias em A e em D :

E A = E D

m g H = m g H - h + 1 2 I ω C 2  

h = I ω C 2 2 m g

Mas ainda não conhecemos ω C . Para isso, escrevemos:

E A = E C

m g H = m g R + 1 2 m r 2 + I ω C 2

ω C 2 = 2 m g H - R m r 2 + I

Substituindo em h :

h = I 2 m g H - R m r 2 + I 2 m g

h = I H - R m r 2 + I

Dividindo o numerador e denominador por I :

h = H - R m r 2 I + 1

Resposta

a )

Translação:

P . sen ⁡ θ - F a t = m . a

Rotação:

r . F a t = I . α

b ) A partir do ponto C , a força de atrito que produzia torque no objeto não existe mais, logo o momento angular tem que ser constante e a velocidade angular obrigatoriamente tem que ser constante.

c )   I 2 < I 3 < I 1 < I 4

d ) p e r f i l   2

e )   h = H - R m r 2 I + 1

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