Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Duas partículas, com massas m 1 e m 2 , estão ligadas por uma haste de massa desprezível e comprimento l , conforme indicado na figura abaixo.

Em um determinado instante de tempo t , o sistema começa a girar no plano O x y em torno de um eixo de rotação que passa pelo centro da haste. Sabendo que o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de rotação é I , quando o módulo da velocidade radial de cada partícula é v , o comprimento da haste é dado por:

(a) l = 4 I m 1 + m 2

(b) l = I m 1 + m 2

(c) l = 4 m 1 + m 2 I

(d) l = 4 I 3 m 1 + m 2

(e) l = I 4 m 1 + m 2

Passo 1

Primeiro ponto importante é que a haste tem massa desprezível, assim, nosso problema apresenta apenas duas partículas pontuais de massas m 1 e m 2 .

Queremos o comprimento l da haste.

Mas como vamos achar isso?

Olhando para o enunciado, temos como dados a velocidade v das partículas e o momento de inércia I do sistema, além das duas massas m 1 e m 2 .

OBS: Os dados não necessariamente são valores numéricos. Porém, tratamos como informações conhecidas no problema e assim, podem aparecer na resposta final.

Dá uma olhada nas expressões para o momento angular L :

L = I ω = m v r

ω → v e l o c i d a d e   a n g u l a r v → v e l o c i d a d e   r a d i a l r → r a i o

A primeira é para calculada quando temos o momento de inércia de um sistema, já a segunda, é apenas para partículas.

Como temos um sistema de partículas e já sabemos seu momento de inércia I , podemos utilizar ambas as expressões.

Então, vamos fazer o seguinte...

Calculamos o momento angular das duas maneiras e depois igualamos essas duas expressões.

L = I ω

L = m v r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira forma é bem direta:

L = I ω

Mas não sabemos quem é ω , então podemos relacionar isso com a velocidade v a partir de:

v = ω r

ω = v r

O raio é a metade do comprimento da haste, então:

r = l 2

Logo, temos:

ω = v l 2

ω = 2 v l

Substituindo isso em L , ficamos com:

L = I 2 v l

Passo 3

Vamos ao cálculo do momento angular L com a segunda expressão.

Cada partícula apresenta um momento angular dado por:

L = m v r

Então:

L = m 1 v r + m 2 v r

L = m 1 + m 2 v r

Sendo que, novamente, o raio r é metade do comprimento da haste:

L = m 1 + m 2 v l 2

Passo 4

Prontinho, podemos igualar os dois e ser feliz:

I 2 v l = m 1 + m 2 v l 2

I 2 v = l 2 m 1 + m 2 v 2

Cortando v , temos:

2 I = m 1 + m 2 2 l 2

Logo:

l 2 = 4 I m 1 + m 2

l = 4 I m 1 + m 2

Resposta

Letra (a)

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