Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Momento Angular

Uma barra delgada homogênea e uniforme, de massa M e comprimento l , é articulada num pino O , que passa por uma de suas extremidades, e pode girar sem atrito num plano vertical. Liberada a partir do repouso na posição horizontal, a barra sofre uma colisão elástica com um pêndulo ao passar pela posição vertical, como representa a massa m de dimensões desprezíveis presa à extremidade da haste. O pêndulo também pode oscilar em torno do pino, sem atrito, no mesmo plano vertical que a barra. Sabe-se que o pêndulo encontrava-se em repouso antes da colisão com a barra, e que o momento de inércia da barra em relação ao eixo perpenducular ao plano vertical e que passa pelo pino é I = 1 / 3 M l 2

  1. Determine a velocidade angular da barra, ω 0 , imediatamente antes da colisão com o pêndulo.
  2. Quais das seguintes grandezas: o momento linear e o momento angular em relação a O são conservadas na colisão? Justifique a sua resposta.
  3. Determine a velocidade angular da barra, ω ' , imediatamente após a colisão.
  4. Determine o valor da razão m / M para que a barra permaneça em repouso depois da colisão.

Passo 1

a)

Para acharmos a velocidade angular antes da colisão, vamos usar a conservação de energia mecânica. Isso é possível porque não temos forças dissipativas, tipo o atrito, atuando.

Inicialmente vamos ter

E m 0 = U 0

Lembra que quando fazemos a energia potencial pegamos a altura do centro de massa ?

Então

U 0 = M g h C M

U 0 = M g ⋅ l

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A energia mecânica final vai ser

E m f = K f + U f

Onde

U f = M g h C M = M g ⋅ l 2 = M g l 2

E

K f = I C R ω f 2 2

Usamos aqui o momento de inécia em relação ao eixo de rotação

K f = M l 2 3 ⋅ ω f 2 2

Assim

E m f = M g l 2 + M l 2 ω f 2 6

Passo 3

Igualando as energias vamos ter

M g l 2 + M l 2 ω f 2 3 = M g l

M l 2 ω f 2 6 = M g l 2

ω f 2 = 3 g l

ω f = 3 g l

Passo 4

b)

Não teremos forças externas nem torques externos atuando, isso nos diz que tanto o momento linear quanto o momento angular em relaçã a O será conservado.

Passo 5

c)

Vamos nos preocupar com o momento angular porque temos corpos girando. Vamos ter, antes da colisão

L s i s t e m a 0 = I b a r r a ⋅ ω f

L s i s t e m a 0 = M l 2 3 ⋅ 3 g l

Passo 6

Vamos chamar de ω ' a velocidade angular da barra após a colisão e ω ' ' a velocidade angular do pendulo após a colisão. Então, depois da colisão

L s i s t e m a f = I b a r r a ⋅ ω ' + I c o r p o ⋅ ω ' '  

Precisamos então achar o momento de inércia do corpo e o corpo é uma partícula, então

I c o r p o = m d 2

Com

d = 2 3 l

I c o r p o = m ⋅ 2 3 l 2 = 4 m l 2 9

O momento angular do sistema após a colisão fica

L s i s t e m a f = M l 2 3 ω ' + 4 m l 2 9 ω ' '

Passo 7

Igualando os momento angulares antes e depois da colisão, vamos deixar a velocidade angular inicial como ω f só para facilitar as contas

M l 2 3 ω ' + 4 m l 2 9 ω ' ' = M l 2 3 ω f

3 M ω ' + 4 m ω ' ' = 3 M ω f

Só essa equação não resolve o nosso problema.

Passo 8

O enunciado disse que a colisão é elástica, isso nos diz que a energia cinética vai ser conservada durante a colisão.

A energia cinética antes da colisão vai ser

K 0 = I b a r r a ω f 2 2

K 0 = M l 2 3 ω f 2 ⋅ 1 2 = M l 2 ω f 2 6

A energia cinética depois da colisão fica

K f = I b a r r a ω ' 2 2 + I c o r p o ω ' ' 2 2

K f = M l 2 3 ω ' 2 2 + 4 m l 2 9 ω ' ' 2 2

Igualando as energias

M l 2 3 ω ' 2 2 + 4 m l 2 9 ω ' ' 2 2 = M l 2 ω f 2 6

3 M ω ' 2 + 4 m ω ' ' 2 = 3 M ω f 2

Passo 9

Temoso sistema

3 M ω ' + 4 m ω ' ' = 3 M ω f 3 M ω ' 2 + 4 m ω ' ' 2 = 3 M ω f 2

Que lindo esse menino né? SQN. Esse sistema é bem complicado de resolver, então vamos a “matemágica”

Vamos começar dividindo as duas equações por 3 M

ω ' + 4 m 3 M ω ' ' = ω f ω ' 2 + 4 m 3 M ω ' ' 2 = ω f 2

Vamos ter, pela primeira equação

4 m 3 M ω ' ' = ω f - ω '

Na segunda equação

ω ' 2 + 4 m 3 M ω ' ' 2 = ω f 2

4 m 3 M ω ' ' 2 = ω f 2 - ω ' 2

4 m 3 M ω ' ' 2 = ω f - ω ' ω f + ω '

Substituindo a subtração vamos ter

4 m 3 M ω ' ' 2 = 4 m 3 M ω ' ' ω f + ω '

Encontrando

ω ' ' = ω f + ω '

Passo 10

Vamos substituir o valor de ω ' ' encontrado no fim do passo 10 na primeira equação

ω ' + 4 m 3 M ω ' ' = ω f

ω ' + 4 m 3 M ω f + ω ' = ω f

ω ' + 4 m 3 M ω f + 4 m 3 M ω ' = ω f

ω ' + 4 m 3 M ω ' = ω f - 4 m 3 M ω f

ω ' 1 + 4 m 3 M = ω f 1 - 4 m 3 M

ω ' = ω f 1 - 4 m / 3 M 1 + 4 m / 3 M

Agora substituímos o valor de ω f

ω ' = 1 - 4 m / 3 M 1 + 4 m / 3 M ⋅ 3 g l

Passo 11

d)

A barra permanecer em repouso significa que a velocidade angular depois da colisão é zero

ω ' = 0

1 - 4 m / 3 M 1 + 4 m / 3 M ⋅ 3 g l = 0

É o mesmo que

1 - 4 m 3 M = 0

4 m 3 M = 1

m M = 3 4

Resposta

  1. ω f = 3 g l
  2. Não teremos forças externas nem torques externos atuando, isso nos diz que tanto o momento linear quanto o momento angular em relaçã a O será conservado.
  3. ω ' = 1 - 4 m / 3 M 1 + 4 m / 3 M ⋅ 3 g l
  4. m M = 3 4

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