Duas partículas se movem em sentidos opostos sobre uma reta. A partícula de massa m   desloca-se para a direita, com velocidade   v , enquanto a partícula de massa 3 m se desloca para a esquerda, com velocidade - v . Qual o momento angular total do sistema em relação

(a) ao ponto A,

(b) ao ponto O e

(c) ao ponto B?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão é de momento angular! Vamos praticar?

O momento angular é o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor momento linear de uma partícula. Assim

L → = r → × m v → = m i ^ j ^ k ^ x y z v x v y v z  

Beleza?

O vetor r → pode ser encontrado de acordo com o ponto que se quer calcular o momento angular, e varia de ponto a ponto.

Quando temos mais de uma, o momento angular total é a soma dos momentos angulares das partículas!

Então é isso que o problema pede! Para calcularmos o momento angular total em relação a três pontos diferentes. Então para cada ponto, vamos achar o vetor r → para cada uma das partículas e jogar naquele determinante

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): em relação ao ponto A, temos:

3 m :

r → 3 m = 0 , - 2 d , 0

v → 3 m = - v , 0,0

Certo? Nosso próximo passo é calcular o momento angular!

Para a massa 3 m :

L → 3 m = 3 m i ^ j ^ k ^ 0 - 2 d 0 - v 0 0 = 3 m 0 - 0 i ^ + 0 - 0 j ^ + 2 d v k ^

L → 3 m = 6 m d v   k ^

Beleza?

Agora vamos repetir esse cálculo, mas para a outra massa!

E para a massa m :

r → m = 0 , - 2 d , 0

v → m = v , 0,0

O momento angular:

L → m = m i ^ j ^ k ^ 0 - 2 d 0 v 0 0 = m 0 - 0 i ^ + 0 - 0 j ^ + - 2 d v k ^

L → m = - 2 m d v   k ^

E o momento angular total é a soma dos dois:

L → = L → 3 m + L → m = 6 m d v   k ^ - 2 m d v   k ^ = 4 m d v   k ^

Tranquilo?

Agora para os outros pontos, é só repetir o mesmo processo: achar os vetores posição e velocidade, jogar no determinante, depois somar os vetores

Passo 3

Letra (b): em relação ao ponto O: ao ponto O, tanto o vetor r → da massa 3 m quando da m estão ao longo da mesma direção que as velocidades, logo os vetores são paralelos

Isso significa que o produto vetorial entre eles é zero

Então o momento angular total é zero!

L → = L → 3 m + L → m = 0

Beleza? Agora vamos repetir para o ponto B!

Passo 4

Letra (c): em relação ao ponto B temos:

3 m :

r → 3 m = 0 , d , 0

v → 3 m = - v , 0,0

Certo? Nosso próximo passo é calcular o momento angular!

Para a massa 3 m :

L → 3 m = 3 m i ^ j ^ k ^ 0 d 0 - v 0 0 = 3 m 0 - 0 i ^ + 0 - 0 j ^ + - d v k ^

L → 3 m = 3 m d v   k ^

Certo? Agora para a massa m :

r → m = 0 , d , 0

v → m = v , 0,0

O momento angular:

L → m = m i ^ j ^ k ^ 0 d 0 v 0 0 = m 0 - 0 i ^ + 0 - 0 j ^ + - d v k ^

L → m = - m d v   k ^

E o momento angular total é a soma dos dois:

L → = L → 3 m + L → m = 3 m d v   k ^ - m d v   k ^ = 2 m d v   k ^

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Resposta

a )   4 m d v   k ^

b )   0

c )   2 m d v   k ^

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