Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação, Momento Angular

Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por um ahaste homogênea de massa M   e comprimento l   que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa m e raio R . O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo θ com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.

a ) Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo z ) que passe pelo ponto P .

b ) Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P.

c ) Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o momento angular da esfera em relação aoponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo t .

Passo 1

a )

Para resolver esse item, devemos lembrar do teorema dos eixos paralelos, lembra!?

I = I C M + M . h 2

Para os corpos que temos, fica:

I = M   .   l 2 12 + M   .   l 2 2 + 2 . m . R 2 5 + m l + R 2

Note que primeiro fizemos da haste e depois da esfera, sacou?

I = M . l 2 3 + m . l 2 + 2 . m .   l .   R + 7 . m . R 2 5

Essa foi tranquila! Vamos para o item b!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para resolver essa, precisamos lembrar da definição de torque, τ → = r → × F → . Como o mastro é composto por dois corpos, a haste e a esfera, o torque total é a soma dos dois, se liga!

τ = r → × F → h a s t e + r → × F → e s f e r a

τ = l 2 . M . g . cos ⁡ θ   + ( l + R . m .   g .   c o s ⁡ ( θ )  

τ → = M . l 2 + m l + R . g   . cos ⁡ θ ( - k ^ )

A direção e o sentido do vetor torque foram achados usando a regra da mão direita! Note que o vetor aponta para dentro do papel, e de acordo com o eixo indicado no enunciado, sabemos que deve ser ( - k ^ ) .

Passo 3

c )

Para descobrir qual o momento angular da esfera, vamos primeiro relembrar sua definição, L → = r → × p → . Como precisamos descobrir o vetor posição da esfera para um tempo t , vamos recorrer a boa e velha cinemática. Então vamos achar as componente x   e y separadamente:

r x = l + R .  cos ⁡ θ

r y = l + R   . sen ⁡ θ - 1 2 . g . t 2

Entendeu o porquê tem aquele termo no fim da eaquação para a componente y ? Sim...pois a esfera está caindo com a aceleração da gravidade, extamente isso! Agora já temos o vetor r → !

r → = l + R . cos ⁡ θ i ^ + [ l + R   . sen ⁡ θ - 1 2 . g . t 2 ] ( j ^ )  

Passo 4

Agora que temos o vetor posição, falta o vetor momento linear, mas como sabemos, p → = m . v → . Ou seja precisamo achar o vetor velocidade, mas a cinemática também responde isso para a gente!

v = v o + a   . t

v → = g . t ( - j ^ )

p → = m . g . t ( - j ^ )

Agora podemos achar o momento angular:

L → = l + R . cos ⁡ θ i ^ + l + R   . sen ⁡ θ - 1 2 . g . t 2 j ^   × m . g . t - j ^

Parece difícil, mas não é! Como temos um produto vetorial, ficamos apenas com:

L → = l + R . cos ⁡ θ . m . g . t   ( - k ^ )

Resposta

a )   I = M . l 2 3 + m . l 2 + 2 . m .   l .   R + 7 . m . R 2 5

b )   τ → = M . l 2 + m l + R . g   . cos ⁡ θ ( - k ^ )

c )   L → = l + R . cos ⁡ θ . m . g . t   ( - k ^ )

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