Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Corpos Rígidos, Força e Leis de Newton, Rotação, Dinâmica de Rotação, Momento Angular

A figura a seguir mostra um dispositivo utilizado para puxar uma esfera oca de raio R = 0,25   m e massa M = 6,0   k g rolando sem deslizar ao longo de um plano com inclinação θ = 30 ° em relação à horizontal. A esfera é puxada da base do plano inclinado a partir do repouso por uma roldana (disco sólido) de raio r   =   0,1   m e massa m   =   4   k g pela aplicação de uma força F → constante na direção tangente à posição de uma manivela (comprimento l   =   r e massa desprezível) fixada em um eixo que passa no centro de massa da roldana, conforme mostra a vista frontal do dispositivo. Adote g   =   10 m / s 2 , despreze os efeitos de atrito no eixo da roldana e considere o fio ideal.

A força F → é tal que suspende a esfera oca ao longo da rampa com uma aceleração de centro

de massa constante a c m   =   2,5 m / s 2 .

( a ) Determine a energia cinética da esfera oca dois segundos após o início do movimento.

( b ) Determine o vetor momento angular final da esfera oca, em relação ao seu centro de massa, dois segundos após o início do movimento.

( c ) Faça o diagrama do corpo livre para a esfera oca e para a roldana e escreva as equações que regem os movimentos destes corpos.

( d ) Obtenha o módulo da força F → aplicada à manivela.

Passo 1

a )

A energia cinética da esfera que está rolando pode ser dividida em energia cinética de translação e de rotação, se liga!

E c = E c t r a n s + E c r o t

E c = M . v c m 2 2 + I . ω 2 2

Antes de partir para a substituição, temos que determinar o momento de inércia e a velocidade do centro de massa para t = 2,0   s !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar a velocidade, nada melhor do que a boa e velha cinemática!

v = v 0 + a . t

v = 0 + 2,5.2,0

ou seja:

v c m = 5,0   m / s

Vamos agora achar o momento de inércia!

I = 2 . M . R 2 3

I = 2 .   6 .   0,25 2 3

I = 0,25   k g . m 2

Passo 3

Agora que temos todos os valores, podemos achar a energia cinética!

E c = M . v c m 2 2 + I . ω 2 2

E c = 6 .   5,0 2 2 + 0,25   . ( 5,0 0,25 ) 2 2

Calma, o ω não saiu da cartola! É só lembrar que ω = v R !

E c = 125   J

Passo 4

b )

Para determinar o vetor momento angular para t = 2,0   s , devemos lembrar de sua definição, L → = I . ω . Como a gente ja calculou o momento de inércia e a velocidade angular no item a , fica bem mais fácil!

L → = I ω →

A intensidade do momento angular é dada por

L = 0,25 ( 5,0 0,25 )

L = 5   k g .   m 2 / s

Já o vetor do momento angular é dado por

L → = 5   k g . m 2 / s   - k ^    

De onde surgiu essa direção e sentido?! Como a gente sabe que a rotação se dá no sentido horário, pois a esfera está subindo a rampa, e pela regra da mão direita, a velocidade angular da esfera aponta para dentro da página!

Passo 5

c )

O movimento da Roldana é apenas rotacional, portanto, vamos começar por ela!

Pela segunda Lei de Newton para rotações, temos:

τ = I . α

Ou seja:

r . F - r . T = m . r 2 2 . ( a c m r )

simplificando:

F - T = m . a c m 2

Lembrando, que como o rolamento é suave, podemos usar α = a c m r !

Passo 6

Agora vamos para as equações que regem o movimento da esfera. Lembrando que agora temos movimento rotacional e translacional, por isso vamos começar com o rotacional!

τ = I . α

R . F a t = 2 . M . R 2 3 . a c m R

Simplificando:

F a t = 2 . M . a c m 3

Agora vamos para o movimento translacional! Como não existe movimento em y , podemos partir direto para a componente x !

Em x , temos:

F = m . a

T - F a t - M . g . sen ⁡ θ = M . a c m

Só para confirmar, em y , temos:

N e - P . cos ⁡ θ = 0

Passo 7

d )

Para determinar o módulo da força F → , vamos usar as equações obtidas no item c!

F - T = m . a c m 2

F a t = 2 . M . a c m 3

T - F a t - M . g . sen ⁡ θ = M . a c m

Somando as três equações, isso tudo para poder cancelar os termos desconhecidos, temos:

F - M . g . sen ⁡ θ = m 2 + 2 . M 3 + M . a c m

Isolando a força e substituindo os valores, temos:

F = ( 6 .   10 .   1 2 + 4 2 + 2 .   6 3 + 6 . 2,5

F = 60   N

Resposta

a )   E c = 125   J

b )   L → = 5   k g .   m 2 / s     ( k ^ )

c )

        R o l d a n a :   F - T = m . a c m 2

        E s f e r a : F a t = 2 . M . a c m 3 T - F a t - M . g . sen ⁡ θ = M . a c m

d )   F = 60   N

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