Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Um aro de massa M e raio R está em repouso no topo de um plano inclinado, como mostrado. O aro rola plano abaixo sem deslizar. Quando ele atinge a base do plano seu momento angular em torno de seu centro de massa é:

Dados: Momento de inércia de um anel uniforme (massa M , raio R ) em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular ao plano do anel: I C M = M R 2 .

A. M R g H

B. M 2 g h

C. 1 / 2 M R g h

D. M h g R

E. M g h

Passo 1

Queremos o momento angular L do aro no instante em que ele chega ao plano.

Podemos calcular o momento angular com a seguinte expressão:

L = I ω

Já temos o momento de inércia de um aro com relação a um eixo passando pelo seu centro:

I C M = M R 2

Porém, ainda não sabemos a velocidade angular ω .

Para isso, podemos tentar ir pelo caminho de energia...

Mas será que a energia mecânica se conserva?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Existem 3 forças atuando sobre o aro, a pergunta é se alguma delas retira energia do sistema.

Força Peso:

A força peso é uma força conservativa, então ela não retira energia do sistema, apenas converte energia potencial em cinética e vice-versa.

Força Normal:

A força normal é uma força não-conservativa, entretanto, ela está sempre perpendicular à superfície da rampa.

Como o aro se move ao longo da rampa, a força normal será perpendicular ao deslocamento a todo instante e não realizará trabalho.

Então, essa força não retira energia do sistema.

Força de Atrito:

A força de atrito é uma força não-conservativa, porém assim como a força normal, ela também não realiza trabalho.

Isso porque o aro rola sem deslizar, então o ponto de contato onde a força de atrito está aplicado não se move e por isso o trabalho é nulo.

Assim, essa força também não retira energia do sistema.

Ouuuuuu sejaaaaa...

A energia mecânica do sistema se conserva!!!

E M 0 = E M

Passo 3

Vamos achar a velocidade angular ω a partir da conservação da energia mecânica e depois encontrar o momento angular L .

A energia mecânica inicial está toda na forma de potencial gravitacional U g , pois o aro tem velocidade zero:

E M 0 = M g h

Enquanto a energia final estará na forma tanto de energia cinética de rotação K R quanto energia cinética de translação K T :

E M = K R + K T

Essas energias cinéticas podem ser calculadas com:

K R = I ω 2 2 K T = M v C M 2 2

Então, temos:

E M = I ω 2 2 + M v C M 2 2

Assim, a conservação ficará:

E M 0 = E M

M g h = I ω 2 2 + M v C M 2 2

Substituindo o momento de inércia I do aro:

M g h = M R 2 ω 2 2 + M v C M 2 2

Cortando as massas:

g h = R 2 ω 2 2 + v C M 2 2

ω 2 R 2 + v C M 2 = 2 g h

Porém, também não temos o valor de velocidade do centro de massa v C M , né?

Passo 4

Não conhecemos seu valor, mas conseguimos relacioná-lo com ω , já que é um rolamento sem deslizamento a partir de :

v C M = ω R

Substituindo isso dentro da expressão, temos:

ω 2 R 2 + ω R 2 = 2 g h

2 ω 2 R 2 = 2 g h

ω = g h R 2

ω = 1 R g h

Passo 5

Por fim, conseguimos o valor do momento angular com o momento de inércia I e a velocidade angular ω :

L = I ω

L = M R 2 1 R g h

L = M R g h

Ficamos com a letra A.

Resposta

Letra A.

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