Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Uma pá da hélice de um helicóptero pode ser considerada como sendo uma barra uniforme e longa. Se cada uma das três pás do rotor de um helicóptero possui 3,0   m de comprimento e 160   k g de massa, determine:

(a) O momento de inércia de cada uma das três pás do rotor com relação ao eixo de rotação, e o momento de inércia do conjunto.

(b) O módulo, direção e sentido do torque (constante) que o motor deve exercer sobre o rotor para levá-lo (do repouso) a uma velocidade angular de 5,0 rotações por segundo em 8,0 segundos (deixe claro sua escolha de sistema de coordenadas).

(c) A energia cinética e o momento angular (módulo, direção e sentido) do conjunto em t = 8   s .

Dado: Para uma barra, o momento de inércia com relação ao eixo (perpendicular a barra) que passa pelo centro de massa vale I c m = 1 12 M L 2 .

Passo 1

a)

I p á = I c m + m d 2

I p á = 160   .   3 2 12 + 160   .   1,5 2

I p á = 120 + 360

I p á = 480   k g . m 2

O momento de inércia do conjunto é dado pela soma dos três momentos de inércia:

I c o n j u n t o = 3.480 = 1440   k g . m 2

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Passo 2

b)

α = Δ ω Δ t

α = 5   .   2 π 8

α = 5 π 4 r a d / s 2

τ = I α

1440   . 5 π 4 = 1800 π   N . m

Para indicar a direção e o sentido do torque, o importante é lembrar que o torque terá a mesma direção e sentido da aceleração angular. Então qualquer que seja o sistema de coordenadas que você use, basta que a aceleração angular e o torque estejam na mesma direção e sentido.

Passo 3

c)

K = I ω 2 2

K = 1440   .   5 π 2 2

K = 18 000 π 2   J

L = I ω

L = 1440   .   5 π

L = 7200 π   k g . m 2 / s

Nesse caso, a direção e o sentido do momento angular é a mesma direção e sentido da velocidade angular.

Resposta

a) I c o n j u n t o = 1440   k g . m 2

b)

τ = 1800 π   N . m

Mesma direção e sentido da velocidade angular

c)

L = 7200 π   k g . m 2 / s

Mesma direção e sentido da velocidade angular

K = 18000 π 2   J

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