Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Física 1 UFRJ 3ºEE 2019.1

Um projétil de massa m é lançado de um ponto O de um plano horizontal com velocidade de módulo v 0 e ângulo θ 0 de lançamento, onde 0 <   θ 0   <   π / 2 . O projétil atinge uma altura máxima H e um alcance A. Se L 0 H é o módulo do momento angular do projétil ao atingir a altura máxima H e L 0 A , o módulo do momento angular quando ele atinge o alcance A, ambos calculados em relação a O, então

  1. L 0 H = H m v 0 c o s θ 0   e   L 0 A = A m v 0 s e n θ 0
  2. L 0 H = H m v 0 c o s θ 0   e   L 0 A = 2 H m v 0 s e n θ 0
  3. L 0 H = H m v 0 s e n θ 0   e   L 0 A = A m v 0 c o s θ 0
  4. L 0 H = A 2 m v 0 c o s θ 0   e   L 0 A = A m v 0 s e n θ 0
  5. L 0 H = A 2 m v 0 s e n θ 0   e   L 0 A = A m v 0 c o s θ 0
  6. Nenhuma das alternativas

Passo 1

Bom, vamos começar decompondo a nossa velocidade inicial v 0 .

E assim como a gente viu lá em MRUV, V x é constante, pois não temos a presença de nenhuma aceleração nesse sentido, o que não acontece com v y , tendo a presença da gravidade.

Agora vamos definir os dois pontos que nós queremos. O primeiro ponto é o ponto de altura máxima, no topo da parábola da gente ali. Nesse ponto, tendo como referencial o ponto O, o vetor posição pra esse ponto é:

s 1 → = < A 2 ,   H >

E o vetor velocidade nesse ponto, como na altura máxima a velocidade em y v y é nula, é dado por:

v 1 → = < v x ,   0 >

Lembrando agora da equação do momento angular, sabemos que:

L 0 H = m s 1 →   ×   v 1 →

Então vamos primeiro calcular aquele produto vetorial ali:

det ⁡ i j k A 2 H 0 v x 0 0 = < 0,0 , - v x H >

Show, então, temos que:

L 0 H = m s 1 →   ×   v 1 →

L 0 H = m < 0,0 , - v x H >

Como se pede o módulo de L 1 → e esse vetor só tem uma componente, seu módulo é exatamente o módulo dessa componente, ou seja:

L 0 H → = H m v x

Como vimos lá em cima, v x = v 0 c o s θ 0 , logo:

L 0 H → = H m v 0 c o s θ 0

Beleza!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Da mesma forma, vamos calcular L 0 A . Nesse caso, lembrando que a velocidade vertical inverte de sentido a partir da altura máxima, temos que:

s 2 → = < A ,   0 >

v 2 → = < v x ,   - v y >

Então:

L 0 A = m ( s 2 → × v 2 → )

Resolvendo novamente o produto vetorial acima, temos:

d e t i j k A 0 0 v x - v y 0   =   < 0,0 , - A v y >

Então, substituindo lá em cima, ficamos com:

L 0 A = m ( s 2 → × v 2 → )

L 0 A = m < 0,0 , - A v y >

Calculando o módulo do momento da mesma forma que fizemos no passo 1, temos:

L 0 H → = A m v y

L 0 H → = A m v 0 s e n θ 0

Pronto, o que nos dá como resposta a alternativa a).

Resposta

  1. L 0 H = H m v 0 c o s θ 0   e   L 0 A = A m v 0 s e n θ 0

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