Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Uma haste longa e fina de massa M e comprimento L é livre para girar sobre um ponto localizado a L / 4 de seu comprimento. A haste é posicionada na posição horizontal, como mostrado na figura 6 , por um fio preso na extremidade:

Em um dado momento o fio é cortado e a haste fica livre para girar em torno do eixo.

Dados: Momento de inércia em relação ao eixo de rotação perpendicular a haste e passando pelo pivô é I = 7 48 M L 2

(d) Determine o momento angular da haste relativo ao pivô no momento em que a haste alcança a posição vertical.

Passo 1

O momento angular é dado por:

L 0 = I ω

Já temos o momento de inércia, porém, não temos a velocidade angular ω .

Como podemos achar isso?

Vamos lá...

No momento em que o fio é cortado, temos apenas as duas forças atuando sobre a haste... peso P e normal N :

Como a força normal N está aplicada em um ponto que não tem translação, seu trabalho é nulo:

W N = 0

Assim, ela não retira energia do sistema mesmo sendo uma força não-conservativa.

Já a força peso realiza um certo trabalho, porém ela é uma força conservativa. Então ela realiza trabalho convertendo energia potencial em cinética. Ou seja, também não vai retirar energia do sistema.

Logo podemos dizer que a energia mecânica do sistema se conserva:

E M 0 = E M

Com isso conseguimos achar a velocidade angular ω , quando a barra estiver vertical e calcular finalmente o momento angular L que queremos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos à conservação.

Inicialmente temos apenas energia potencial gravitacional:

E M 0 = M g h

E na parte de baixo, vamos considerar uma energia potencial gravitacional nula, então temos apenas energia cinética de rotação:

E M = I ω 2 2

Então, nossa equação fica assim:

E M 0 = E M

M g h = I ω 2 2

Mas quem é essa altura h ?

Passo 3

Essa altura h será a altura que o centro de massa desceu:

h = L 2 - L 4

h = L 4

Passo 4

Então, temos que:

M g h = I ω 2 2

M g L 4 = I ω 2 2

Substituindo o valor do momento de inércia, temos:

M g L 4 = 7 48 M L 2 ω 2 2

g L 4 = 7 L 2 48 ω 2 2

g L = 7 L 2 12 ω 2 2

Cortando L :

g = 7 L 24 ω 2

ω 2 = 24 g 7 L

ω = 24 g 7 L

Passo 5

Agora que temos ω , podemos calcular L :

L 0 = I ω

Substituindo os valores, temos:

L 0 = 7 M L 2 48 24 g 7 L

Podemos entrar com os números na raiz para simplificar:

L 0 = M L 2 7 48 2 24 g 7 L

L 0 = M L 2 7 2 × 24 2 24 g 7 L

L 0 = M L 2 7 g 2 2 × 24 L

L 0 = M L 2 7 g 96 L

Resposta

(d) L 0 = M L 2 7 g 96 L

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