Exercícios Resolvidos de Momento Angular

A figura mostra um sistema mecânico simples. Uma haste delgada de massa M e comprimento L está presa em uma extremidade por um pino O e livre para girar sem atrito. Na outra extremidade se encontra presa uma esfera de massa m e raio desprezível. Considere g → = - 9,81   m / s 2   y ^   e a distância vertical O B - = L

Dados:

- M = 1,50   K g

- m = 0,50   K g

- L = 2,00   m

- I h a s t e = M L 2 / 12

Determine

  1. Uma expressão literal para o momento de inércia do sistema em relação ao ponto fixo O , contendo somente as variáveis indicadas no enunciado.
  2. Um valor numérico para este momento de inércia.
  3. O momento angular total do sistema ao passar pelo ponto B.

Passo 1

Temos que o momento de inércia total será dado por

I = I m a s s a + I h a s t e

O momento de inércia da massa m é dado simplesmente por

I m a s s a = m L 2

No caso da haste temos que lembrar que o seu centro de massa não está sobre o eixo de rotação, assim temos que usar o teorema dos eixos paralelos.

I h a s t e ' = I h a s t e + M d 2

Onde d é a distância do centro de massa da haste até o eixo de rotação.

Pela figura vemos que

d = L 2

Assim

I h a s t e ' = M L 2 12 + M L 2 2 = M L 2 12 + M L 2 4

I h a s t e ' = M L 2 3

E agora temos o momento de inércia total!

I = I m a s s a + I h a s t e '

I = m L 2 + M L 2 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora só temos que substituir os valores numéricos

I = 0,5 × 2 2 + 1,5 × 2 2 3

I = 4   K g . m 2

Passo 3

Temos que utilizar a conservação de energia mecânica.

No começo temos somente energia potencial gravitacional da barra e da massa m

E a n t e s = m g L + M g L

Quando a extremidade da barra passar pelo ponto B teremos energia cinética de rotação do sistema e energia potencial gravitacional da barra, já que o seu centro de massa (que é no meio da barra) está a uma altura L / 2 .

Assim

E d e p o i s = 1 2 I ω 2 + M g L 2

Assim, usando a conservação de energia mecânica

E a n t e s = E d e p o i s

m g L + M g L = 1 2 I ω 2 + M g L 2

m g L + M g L 2 = 1 2 I ω 2

ω = 2 m g L + M g L I = 2 × 0,5 × 9,81 × 2 + 1,5 × 9,81 × 2 4

ω = 3,536   r a d / s

Passo 4

Agora podemos calcular o momento de inércia usando

L = I ω

L = 4 × 3.536

L = 14,14   K g . m 2 / s

Resposta

(A) I = m L 2 + M L 2 3

(B) I = 4   K g . m 2

(C) L = 14,14   K g . m 2 / s

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