Um disco com momento de inércia I 1 , está girando, com velocidade angular ω 1 em torno de um eixo sem atrito. Num certo instante, este disco cai sobre outro disco, de momento de inércia I 2 , que está inicialmente em repouso, no mesmo eixo. Em virtude do atrito entre as superfícies, os dois discos terminam por atingir uma velocidade angular comum a ambos ω f . Determine ω f . A energia cinética do sistema se conserva?

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O sistema é tal que temos duas etapas “Antes e depois”, a situação é exemplificada com a figura

Inicialmente temos que o sistema tem um momento angular devido a velocidade angular ω i , dada por

L i → = I ω i →

após o sistema se juntar, temos um novo sistema com novo momentum de inércia e nova velocidade angular, mas, o momentum angular deve se conservar já que não há forças externas atuando sobre o sistema! Vamos usar isso para calcular a velocidade angular final! Bora lá!

Passo 2

O momentum angular inicial é dado por

L i → = I i ω i →

O momentum angular final é tal que

L f → = I f ω f →

Se desconsiderarmos a espessura dos discos, temos que o momentum de inércia final é dado por

I f = I 1 + I 2

e como temos a conservação do momentum linear, obtemos que

ω → f = I 1 I 1 + I 2 ω i →

Vamos calcular a energia cinética do sistema! Bora lá!

Passo 3

A energia cinética de rotação é obtida como

E i = 1 2 I 1 ω i 2

O sistema no final é tal que

E f = 1 2 ( I 1 + I 2 ) ω f 2

Usando a velocidade angular obtida no passo anterior, temos que

E f = 1 2 ( I 1 + I 2 ) I 1 2 ( I 1 + I 2 ) 2 ω 1 2 = I 1 I 1 + I 2 E i

Como temos que

I 1 I 1 + I 2 < 1

Portanto, a energia cinética diminui! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

ω → f = I 1 I 1 + I 2 ω i → e a Energia cinética diminui!

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