O vetor r → = 4 t 2 i ^ - 2 t + 6 t 2 j ^ fornece a posição de uma partícula de massa m = 1 k g no instante t em relação à origem de um sistema de coordenadas x y . Determine o módulo do momento angular da partícula em relação à origem no instante t = 1 s .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Como relembrar é viver, vamos ver o que é preciso pra calcular o momento angular de uma partícula?

Momento angular L → é como se fosse o momento linear, mas pra rotações! E a gente calcula esse treco assim:

L → = m r → × v →

Então precisamos desses dois vetores: da posição r → e da velocidade v → ! Além da massa, claro! Uma observação: aqui o vetor posição depende do tempo, então precisamos aplicar no instante que o problema pede, tá? No nosso caso t = 1 s .

A massa e o vetor posição já temos, então precisamos achar o vetor velocidade! Pra isso, a gente precisa lembrar que a velocidade é a derivada da posição em função do tempo!

Pronto, com esses dois vetores (aplicados no tempo dado) é só correr pro produto vetorial (vou te relembrar como faz tá, fica tranquilo!) e matar essa questão!

Segura minha mão e vem comigo!

Passo 2

Vamos agora calcular o vetor velocidade. Ele vai ser a derivada do vetor posição:

r → = 4 t 2 i ^ - 2 t + 6 t 2 j ^

E a derivada em relação ao tempo:

v → = d d t 4 t 2 i ^ - 2 t + 6 t 2 j ^ = 8 t   i ^ - 2 + 12 t j ^

E queremos esses dois vetores no instante t = 1 s :

r → 1 = 4 1 2   i ^ - 2.1 + 6 1 2 j ^

r → 1 = 4 i ^ - 4 j ^

E agora o vetor velocidade em t = 1 s :

v → = 8 t   i ^ - 2 + 12 t j ^

v → 1 = 8.1   i ^ - 2 + 12.1 j ^

v → 1 = 8 i ^ - 14 j ^

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos resgatar todos os dados até agora:

r → = r → 1 = 4 i ^ - 4 j ^

v → = v → 1 = 8 i ^ - 14 j ^

E a massa da partícula é m = 1 k g . Agora vamos ao momento angular?

L → = m r → × v → = 1 4 i ^ - 4 j ^ × 8 i ^ - 14 j ^

L → = 4 i ^ - 4 j ^ × 8 i ^ - 14 j ^

Vamos ao produto vetorial?

Um produto vetorial entre dois vetores quaisquer a → e b → é:

a → × b → = i ^ j ^ k ^ a x a y a z b x b y b z = i ^ a y b z - a z b y + j ^ a z b x - a x b z + k ^ ( a x b y - a y b x )

Onde a x ,   a y , a z e b x , b y ,   b z são as componentes dos vetores que a gente tá trabalhando. Então agora é só substituir! Belezinha?

r → × v = i ^ j ^ k ^ 4 - 4 0 8 - 14 0

= i ^ ( - 4 ) . ( 0 ) - ( 0 ) ( - 14 ) + j ^ ( 0 ) ( 8 ) - ( 4 ) ( 0 ) + k ^ ( ( 4 ) ( - 14 ) - ( - 4 ) ( 8 ) )

Como você pode ver, as componentes i ^ e j ^ são nulas, que curioso, né? Isso acontece porque tanto a posição quanto a velocidade estão no plano x y , e como o momento angular é resultado de um produto vetorial (o produto vetorial é um vetor perpendicular aos vetores do produto), ele tem que ser perpendicular tanto a posição quanto a velocidade ao mesmo tempo! E isso só acontece se ele estiver na direção de k ^ .

Aí o vetor momento angular é:

L → = 0 i ^ + 0 j ^ - 24 k ^ = ( 0,0 , - 24 )

Beleza?

Passo 4

Mas o problema nos pede o Módulo do momento angular! Então por fim, precisamos calcular o módulo desse vetorzinho:

L → = 0 i ^ + 0 j ^ - 24 k ^ = ( 0,0 , - 24 )

O módulo de um vetor   a → qualquer é:

a → = a x i ^ + a y j ^ + a z k ^

a → = a x 2 + a y 2 + a z 2

Aí o módulo do vetor é:

L → = 0 2 + 0 2 + - 24 2 = 24

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

24

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