Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Uma haste rígida de massa M e comprimento l pode girar sem atrito em torno do seu centro fixo O , como na figura. Duas partículas de massas m 1 e m 2 são presas às suas extremidades. Este sistema gira em torno do ponto O , num plano vertical, com uma velocidade angular instantânea ω . O módulo do momento angular do sistema é:

Dados: Momento de inércia de uma barra uniforme (massa M , comprimento R ) em relação ao eixo que passa pelo centro de massa e é perpendicular ao comprimento da barra: I C M = 1 12 M R 2 .

A. ω l 2 4 M + 3 m 1 + 3 m 2 / 12

B. ω l 2 M + 3 m 1 + 3 m 2 / 12

C. ω l 2 m 1 + m 2

D. M ω l 2

E. ω l 2 m 1 + m 2 / 2

Passo 1

O enunciado já nos deu a velocidade angular ω .

Queremos o momento angular do sistema L .

O momento angular pode ser calculado com pelo produto do momento de inércia I com a velocidade angular ω :

L = I ω

Então, basta descobrirmos o momento de inércia I que achamos o momento angular L .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O momento de inércia do sistema será a soma dos momentos de inércia de cada elemento do sistema.

Temos uma partícula de massa m 1 , uma partícula de massa m 2 e uma haste de massa M , então:

I = I p 1 + I p 2 + I H

Passo 3

O momento de inércia de uma partícula é dado pela sua massa vezes a distância ao eixo de rotação ao quadrado:

I p = m d 2

Tanto para a partícula de massa m 1 quanto para a partícula de massa m 2 , temos uma distância ao eixo de rotação igual à metade do comprimento da haste:

I p 1 = m 1 l 2 2

I p 2 = m 2 l 2 2

Passo 4

Enquanto isso, o momento de inércia da haste com relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro de massa (centro da haste) é tabelado:

I H = I C M

I H = 1 12 M R 2

Onde o comprimento R da haste é l :

I H = 1 12 M l 2

Passo 5

Substituindo esses valores, conseguimos o momento de inércia do sistema:

I = I p 1 + I p 2 + I H

I = m 1 l 2 2 + m 2 l 2 2 + 1 12 M l 2

I = m 1 l 2 4 + m 2 l 2 4 + 1 12 M l 2

I = l 2 m 1 4 + m 2 4 + M 12

Passo 6

Agora, basta voltarmos a expressão do momento angular:

L = I ω

L = ω l 2 m 1 4 + m 2 4 + M 12

Pronto, agora para ajeitar a resposta podemos fazer colocar tudo sobre o mesmo denominador:

L = ω l 2 3 m 1 12 + 3 m 2 12 + M 12

L = ω l 2 3 m 1 + 3 m 2 + M 12

Ficamos com a letra B.

Resposta

Letra B.

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