Uma esfera oca uniforme de massa M = 6 m e raio R pode girar em torno de um eixo vertical sem atrito conforme a figura abaixo. Uma corda de massa desprezível esta enrolada no equador da esfera, passa por uma polia (um disco homogêneo) de massa M p = 12 m e raio r , e está presa a um pequeno objeto de massa m . Não há atrito no eixo da polia, e a corda não escorrega na casca nem na polia. O sistema é liberado do repouso e o bloco cai de uma altura h . No instante final da queda do bloco por essa distância h , determine:

  1. O módulo da velocidade do bloco
  2. O módulo do momento angular da esfera com relação ao seu eixo de rotação
  3. O módulo do momento angular da polia com relação ao seu eixo de rotação.

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema diz que não tem dissipação de energia, então vou usar (e abusar um pouco kkk) da conservação de energia!

No começo temos que o sistema está em repouso, então não temos energia cinética (de nenhum tipo! Nem rotacional nem translacional) mas temos energia potencial gravitacional!

A caixa de massa m está suspensa por uma altura h , então ela tem energia por causa do campo gravitacional da Terra, e é essa energia que, quando o sistema é liberado, vai fazer tudo se movimentar.

Então a energia inicial é:

m g h

E a energia final?

Ah! Aí que tá: temos várias energias cinéticas!

A esfera está rodando, então temos energia rotacional dela: E r o t , e s f

A polia também tá girando, então aqui também temos energia rotacional da polia E r o t , p o l

E a massa m ? Ela não tá girando, mas tá andando! Então temos a energia cinética normal E c , m

A ideia é descobrir através da conservação de energia a velocidade do conjunto. E daí encontrar as outras coisas que o problema nos pede.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Vamos agora equacionar essas coisas todas. A energia potencial já sabemos:

m g h

A energia cinética do bloco m é bem conhecida nossa:

m v 2 2

Agora as energias de rotação. Primeiro da esfera:

I ω 2 2

Aqui o momento de inércia I é o momento de inércia da esfera. Consultando numa tabela:

I = 2 3 M R 2

E a velocidade angular pode ser relacionada com a velocidade linear v :

v = ω R

Daí: ω = v R , e na energia de rotação:

E r o t ,   e s f = I ω 2 2 = 2 3 M R 2 . 1 2 . v R 2

Ainda temos que M = 6 m , daí sim temos:

E r o t , e s f = 2 3 6 m R 2 . 1 2 . v R 2 = 2 m v 2

E agora a energia da polia:

A energia de rotação é:

I ω 2 2

O momento de inércia da polia é o mesmo de um disco de raio r e massa 12 m . Aí o I da polia é:

I = m ' r 2 2 = 12 m r 2 2 = 6 m r 2

A velocidade angular da polia pode se relacionar com a velocidade linear do conjunto pelo raio dela r :

v = ω r

ω = v r

E a energia de rotação dessa polia é:

E r o t , p o l = I ω 2 2 6 m r 2 v r 2 . 1 2 = 3 m v 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Letra (A):

A energia inicial é igual a energia final:

E p o t e n c i a l = E c + E r o t , p o l + E r o t , e s f

Agora vãos resgatar os resultados do passo anterior:

m g h = m v 2 2 + 3 m v 2 + 2 m v 2

Podemos cortar as massas e ficamos com uma expressão pra velocidade linear do sistema em termos da altura h e da gravidade:

g h = v 2 2 + 5 v 2

v 2 1 2 + 5 = g h

11 2 v 2 = g h

v 2 = 2 g h 11

v = 2 g h 11

Passo 4

Letra (B):

E agora podemos calcular o momento angular da esfera!

O momento angular é L = I ω . O momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R é 2 3 M r 2 , no nosso caso M = 6 m . Daí temos:

L e s f = I ω

O momento de inércia da esfera:

I = 2 3 M R 2

Mas M = 6 m :

I = 2 3 6 m R 2 = 4 m R 2

E a velocidade angular:

ω = v / R

Aí o momento angular fica assim:

L = 4 m R 2 . v R = 4 m R v

Lembra que já descobrimos a velocidade v na letra (a):

= 4 m R 2 g h 11

Beleza?

Passo 5

Letra (c): agora vamos calcular o momento angular da polia. O momento de inércia de uma polia de massa m '   e raio r é m ' r 2 / 2 . No nosso caso m ' = 12 m :

I = 12 m r 2 2 = 6 m r 2

E daí o momento angular é:

L p o l = I ω = 6 m r 2 ω

E a velocidade angular é v = ω r , então:

L p o l = 6 m r 2 v r = 6 m r v

Lembra que já descobrimos a velocidade v na letra (a):

= 6 m r 2 g h 11

Juntando os resultados temos:

  1. v = 2 g h 11
  2. 4 m R 2 g h 11
  3. 6 m r 2 g h 11

Beleza?

Espero ter te ajudado! =D

Resposta

  1. v = 2 g h 11
  2. 4 m R 2 g h 11
  3. 6 m r 2 g h 11

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