1) Um corpo de massa M está preso à extremidade de um fio ideal que está enrolado numa peça composta por dois cilindros de massas M A = M e M B = 2 M e raios R A e R B , que giram juntos sobre um eixo, como mostra a figura. O fio está enrolado em torno do cilindro A e não desliza sobre ele.

O momento de inercia de um cilindro maciço é dado por:

I c = 1 2 M C R C 2

a) Faça um diagrama de corpo livre para o corpo de massa M e para a peça composta por dois cilindros.

b) Suponha que não há perdas por atito. Use a 2ª Lei de Newton e seu análogo rotacional para calcular a aceleração do bloco de massa M em função das variáveis dadas no problema.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos um eixo que nele está preso dois cilindros de massas e raios M A , M B , R A e R B . Ao redor do cilindro A está enrolado um fio que na ponta tem um bloco de massa M pendurado. Tudo isso podemos ver na imagem do enunciado.

O sistema gira no sentido que vemos na figura sendo que M A = M e M B = 2 M .

Com isso queremos desenhar o diagrama de corpo livre para o bloco e para os dois cilindros no item a).

E no item b) temos que usar a 2ª Lei de Newton para obter a aceleração do bloco.

Como podemos fazer essas coisas? 🤔🤔

O diagrama de corpo livre pode ser feito imaginando quais forças agem em um objeto e como elas agem.

Com o diagrama, vamos analisar quais forças contribuem para a aceleração do bloco.

Sacou? Bora! 😁

Passo 2

Primeiro vamos fazer o diagrama para o bloco M .

Podemos imaginar que há a ação da força peso devido a gravidade e a tração da corda

Agora para o bloco A podemos imaginar que temo a força de rotação torque, a tração da corda que segura o bloco M , a força peno e a força normal com o eixo de rotação.

Já para o bloco B imaginamos que temos as mesmas forças, com exceção da tração T já que a corda não está enrolada nele

E aí, o que acha desses diagramas de corpo livre? Concorda? 🤔

Passo 3

Agora para obter a aceleração do bloco M , temos que relacionar algumas forças.

O que queremos obter é a aceleração a , não é?

Podemos relacionar com a aceleração angular de um movimento circular que é dado por

α = a R = a R A

Onde R é o raio de rotação, ou seja, o raio R A .

Já o torque de um movimento pode ser relacionado com a aceleração angular pela seguinte fórmula

τ = I α

Onde I é o momento de inercia da rotação.

No enunciado foi dito que o momento de inercia de um cilindro é dado por

I c = 1 2 M C R C 2

E como temos dois cilindros, podemos dizer que o momento total é dado por

I = I A + I B

I = 1 2 M A R A 2 + 1 2 M B R B 2

Como M A = M e M B = 2 M dizemos que

I = 1 2 M R A 2 + 1 2 2 M R B 2

I = 1 2 M R A 2 + M R B 2

I = M R A 2 2 + R B 2

Substituindo I e α em τ , temos

τ = M R A 2 2 + R B 2 a R A

τ = M a R A R A 2 2 + R B 2

Mas veja só, o torque também é a diferença entre a força peso e a tração na corda, não é? Se a tração fosse igual a força peso, o sistema estaria estático... concorda?

τ = P - T

A força peso é dada por P = M g e a tração por T = M a

τ = M g - M a

τ = M g - a

Igualando essas duas equações, temos

M g - a = M a R A R A 2 2 + R B 2

Vamos desenvolver melhor essa equação aqui...

Está entendendo? 😁

Passo 4

Podemos cortar M dos dois lados para simplificar a equação.

g - a = a R A R A 2 2 + R B 2

g - a = R A 2 + R B 2 R A a

Isolando a , temos

R A 2 + R B 2 R A a + a = g

R A 2 + R B 2 R A + 1 a = g

Deixando o denominador igual nos termos de R A 2 + R B 2 R A + 1 multiplicando por R A em cima e em baixo em R A 2 , por 2 em R B 2 R A e por 2 R A em 1 , vamos obter

R A 2 2 R A + 2 R B 2 2 R A + 2 R A 2 R A a = g

R A 2 + 2 R B 2 + 2 R A 2 R A a = g

Passando o termo entre parênteses para o outro lado dividindo...

a = g R A 2 + 2 R B 2 + 2 R A 2 R A

a = 2 g R A R A 2 + 2 R B 2 + 2 R A

E é essa a aceleração que encontramos para o bloco M na situação do enunciado!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) Imagens no Passo 2.

b) a = 2 g R A R A 2 + 2 R B 2 + 2 R A

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