Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Um objeto tem momento de inércia com respeito ao seu eixo de simetria de 4,0   k g   m 2 e está sujeito a um torque paralelo ao eixo de simetria e com respeito a um ponto sobre este eixo. A magnitude do torque é mostrada no gráfico. Se o objeto está inicialmente em repouso, a magnitude da velocidade angular do objeto em t   =   3   s é:

A. 3 4   r a d / s

B. 1   r a d / s

C. impossível determinar, pois o torque depende da distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação e da magnitude da força.

D. 1 2   r a d / s

E. 9 8   r a d / s

Passo 1

Beleza, ele quer informação da velocidade angular ω . Pra isso ele deu informação sobre o torque e o momento de inércia.

O torque a gente consegue relacionar com a força, com a aceleração angular e com o momento angular. Opa! O momento angular pode ser relacionado com a velocidade angular!

τ = d L d t = d I ω d t

Outra informação importante do gráfico é que em t = 2   s o torque zera, então a aceleração angular zera, logo o movimento é uniforme, então a velocidade angular que ele tem em 2   s vai ser a mesma que ele vai ter em 3   s .

Vamos fazer juntos, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Usando a equação que a gente falou ali em cima:

τ = d I ω d t

Como o I é uma constante, pode sair da derivada:

τ = I d ω d t

d ω d t = τ I

Maravilha! Vamos olhar para o gráfico:

Entre 0 e 2   o gráfico é uma reta, ou seja:

τ = C t

Onde C é uma constante e vale 1, já que pra cada y, o x é igual

Então:

d ω d t = t I

Integrando em função do tempo nos dois lados:

ω t = t 2 2 I + D

  D constante.

Beleza, já temos uma função de ω t .

Sabemos que ω t = 0 = 0 pois a velocidade inicial é nula. Substituindo então:

ω t = t 2 2 I + D

0 = D

Então já descobrimos o valor da constante D. Ficamos com:

ω t = t 2 2 I

Agora vamos calcular ω t = 2 :

ω t = t 2 2 I

ω 2 = 4 2 ⋅ 4 = 1 2 r a d / s

Como entre 2   s e 3   s o torque é nulo, consequentemente a aceleração angular é nula, temos que a velocidade angular é constante entre 2   s e 3   s . Então

ω 2 = ω 3

ω 3 = 1 2 r a d / s

Resposta

Alternativa D

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