Exercícios Resolvidos de Momento Angular

Parte I: Duas hastes iguais muito finas de comprimento l e massa M estão coladas em forma de um T conforme ilustra a figura. O momento de inércia rotacional do conjunto em torno do eixo tracejado é:

(a) M l 2 / 6

(b) 2 M l 2 / 3

(c) 4 M l 2 / 3

(d) 7 M l 2 / 12

(e) nenhuma das respostas acima.

Parte II: Uma corpo de massa M está conectado a uma corda que está firmemente enrolada em um cilindro de massa M e raio R . No instante abaixo o cilindro gira com velocidade angular ω e o corpo desce com velocidade de módulo igual a V . A corda não desliza sobre o cilindro. Despreze a massa da corda e atritos. O módulo do momento angular do conjunto em relação ao centro do cilindro é:

(a) M V + l ω

(b) 2 R M V

(c) 3 R M V / 2

(d) 2 l ω

(e) nenhuma das respostas acima.

Parte III: Seja uma barra de comprimento l e peso P → sobre a qual agem as forças ilustradas ao lado. O módulo do torque resultante em torno da extremidade superior é:

(a) R F s e n θ

(b) P l / 2   c o s θ - R x l s e n θ - R y l c o s θ

(c) F y l c o s   θ   +   F x l s e n   θ – P   l / 2   c o s θ  

(d) F x l s e n   θ -   F y l s e n   θ – P   l / 2   s e n θ  

(e) nenhuma das respostas acima.

Passo 1

Parte I.

Aqui vamos usar o teorema dos eixos paralelos, então, vamos começar calculando o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo que passa pela barra na horizontal.

Este momento de inércia é formado pelo momento de inércia da própria barra somado com o momento de inércia da barra perpendicular a ela, portanto:

I 1 = M l 2 2 + M l 2 12

Como o eixo que nós queremos calcular está distante l do eixo que calculamos acima, pelo teorema dos eixos paralelos, temos:

I = I 1 + M l 2

Logo:

I = 3 M l 2 + M l 2 + 12 M l 2 12

I = 4 M l 2 3

Resposta: letra (c)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Parte II.

Existem dois movimentos que irão contribuir para o momento angular: a translação do bloco para baixo e a rotação do cilindro.

Começando pela translação do bloco, temos que o vetor velocidade dista R do centro do cilindro, logo:

L B = M V R

Já para a rotação do cilindro:

L C = I ω

Como o momento de inércia do cilindro é dado por:

I = M R 2 2

E podemos tirar o ômega da relação:

V = ω R

Logo:

L C = M R 2 2 V R

Somando os dois:

L = R M V + 1 2 M R V

L = 3 R M V 2

Passo 3

Parte III.

Sabemos que as forças que agem no ponto onde estamos calculando o torque não geram torque, certo? Então, vamos por partes:

Para a força peso:

τ P = P l 2   c o s θ

Para a força R x :

τ R x = - R x l s e n θ

Para a força R y :

τ R y = - R y l c o s θ

Logo, somando tudo:

τ = P l 2 c o s θ - R x l s e n θ - R y l c o s θ

Resposta: letra (b)

Resposta

Parte I: (c)

Parte II: (c)

Parte III: (b)

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