Exercícios Resolvidos de Momento Angular

UFRJ, Física 1, P2 - 2012.2, Questão Q02

Uma barra delgada homogênea e uniforme, de massa Equation e comprimento Equation , é articulada num pino Equation , que passa por uma de suas extremidades, e pode girar sem atrito num plano vertical. Liberada a partir do repouso na posição horizontal, a barra sofre uma colisão elástica com um pêndulo ao passar pela posição vertical, como representa a massa Equation de dimensões desprezíveis presa à extremidade da haste. O pêndulo também pode oscilar em torno do pino, sem atrito, no mesmo plano vertical que a barra. Sabe-se que o pêndulo encontrava-se em repouso antes da colisão com a barra, e que o momento de inércia da barra em relação ao eixo perpenducular ao plano vertical e que passa pelo pino é Equation

  1. Determine a velocidade angular da barra, Equation , imediatamente antes da colisão com o pêndulo.
  2. Quais das seguintes grandezas: o momento linear e o momento angular em relação a Equation são conservadas na colisão? Justifique a sua resposta.
  3. Determine a velocidade angular da barra, Equation , imediatamente após a colisão.
  4. Determine o valor da razão Equation para que a barra permaneça em repouso depois da colisão.

Passo 1

a)

Para acharmos a velocidade angular antes da colisão, vamos usar a conservação de energia mecânica. Isso é possível porque não temos forças dissipativas, tipo o atrito, atuando.

Inicialmente vamos ter

Equation

Lembra que quando fazemos a energia potencial pegamos a altura do centro de massa ?

Então

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A energia mecânica final vai ser

Equation

Onde

Equation

E

Equation

Usamos aqui o momento de inécia em relação ao eixo de rotação

Equation

Assim

Equation

Passo 3

Igualando as energias vamos ter

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 4

b)

Não teremos forças externas nem torques externos atuando, isso nos diz que tanto o momento linear quanto o momento angular em relaçã a Equation será conservado.

Passo 5

c)

Vamos nos preocupar com o momento angular porque temos corpos girando. Vamos ter, antes da colisão

Equation

Equation

Passo 6

Vamos chamar de Equation a velocidade angular da barra após a colisão e Equation a velocidade angular do pendulo após a colisão. Então, depois da colisão

Equation

Precisamos então achar o momento de inércia do corpo e o corpo é uma partícula, então

Equation

Com

Equation

Equation

O momento angular do sistema após a colisão fica

Equation

Passo 7

Igualando os momento angulares antes e depois da colisão, vamos deixar a velocidade angular inicial como Equation só para facilitar as contas

Equation

Equation

Só essa equação não resolve o nosso problema.

Passo 8

O enunciado disse que a colisão é elástica, isso nos diz que a energia cinética vai ser conservada durante a colisão.

A energia cinética antes da colisão vai ser

Equation

Equation

A energia cinética depois da colisão fica

Equation

Equation

Igualando as energias

Equation

Equation

Passo 9

Temoso sistema

Equation

Que lindo esse menino né? SQN. Esse sistema é bem complicado de resolver, então vamos a “matemágica”

Vamos começar dividindo as duas equações por Equation

Equation

Vamos ter, pela primeira equação

Equation

Na segunda equação

Equation

Equation

Equation

Substituindo a subtração vamos ter

Equation

Encontrando

Equation

Passo 10

Vamos substituir o valor de Equation encontrado no fim do passo Equation na primeira equação

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora substituímos o valor de Equation

Equation

Passo 11

d)

A barra permanecer em repouso significa que a velocidade angular depois da colisão é zero

Equation

Equation

É o mesmo que

Equation

Equation

Equation

Resposta

  1. Equation
  2. Não teremos forças externas nem torques externos atuando, isso nos diz que tanto o momento linear quanto o momento angular em relaçã a Equation será conservado.
  3. Equation
  4. Equation

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