Exercícios Resolvidos de Momento Angular

USP, Física 1, P3 - 2014, Questão 3

Considere um projétil de massa Equation movimentando-se no plano Equation de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton Equation é igual a Equation . Expresse seus resultados em função de Equation onde for necessário.

Equation O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por Equation onde Equation e Equation são os versores dos eixos Equation e Equation , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.

Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa Equation , com Equation , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens Equation , Equation e Equation , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é Equation e Equation .

Equation Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.

Equation Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

Equation Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.

Equation O planeta agora é uma esfera de raio Equation com densidade que varia radialmente de Equation a Equation de acordo com

Equation

Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de Equation , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).

Passo 1

Equation

Lembrando que o momento angular pode ser calculado por:

Equation

O vetor Equation nós já temos:

Equation

E o vetor velocidade nada mais é que a derivada do vetor posição:

Equation

Equation

Substituindo no momento angular:

Equation

Podemos reescrever como:

Equation

Lembrando que no produto vetorial, a multiplicação de vetores paralelos é nula. Logo Equation . Sobrando apenas:

Equation

Equation

Pela regra da mão direita:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation

Nessas novas condições conseguimos observar que pouca coisa mudou. Segundo o enunciado, o vetor velocidade continua sendo Equation e o vetor posição inicial se tornou Equation , isso nos leva a crer que o vetor posição seja:

Equation

Logo, somente a componente na direção Equation do vetor Equation mudou com relação ao item anterior, e sabendo que esta componente é paralela à velocidade (não contribuindo, portanto, ao momento angular), temos que o momento angular é o mesmo do item anterior.

Equation

A energia total do projétil é:

Equation

Onde Equation é a energia cinética Equation e Equation é a energia potencial gravitacional, que a grandes distâncias é dada por Equation . Vamos aplicar ao nosso problema agora:

Equation

Onde Equation e Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Equation

No item anterior encontramos:

Equation

Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!

Analisando o potencial efetivo temos:

Equation

Lembrando que no item anterior, confirmamos que o momento angular continua Equation .

Equation

Equation

Equation

Equation

O mínimo dessa função ocorre quando:

Equation

Equation

Equation

Equation

Como Equation , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.

Passo 4

Equation

Temos que Equation e Equation são perpendiculares entre si. Em uma órbita elíptica, essa situação ocorre somente nas distâncias Equation e Equation . Como Equation , concluímos que Equation . A origem, onde o planeta está localizado, é um dos pontos focais da elipse.

Passo 5

Equation

Na superfície do planeta a energia total do projétil é:

Equation

A velocidade de escape é aquela que resulta na anulação da energia potencial gravitacional que puxa o projetil de volta para a terra, ou seja:

Equation

Equation

Equation

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation A órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.

Equation

Equation

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