Exercícios Resolvidos de Momento Angular

PUCRIO, Física B - FIS1026, P3 - 2012.2, Questão 2

A figura a seguir mostra um dispositivo utilizado para puxar uma esfera oca de raio Equation e massa Equation rolando sem deslizar ao longo de um plano com inclinação Equation em relação à horizontal. A esfera é puxada da base do plano inclinado a partir do repouso por uma roldana (disco sólido) de raio Equation e massa Equation pela aplicação de uma força Equation constante na direção tangente à posição de uma manivela (comprimento Equation e massa desprezível) fixada em um eixo que passa no centro de massa da roldana, conforme mostra a vista frontal do dispositivo. Adote Equation , despreze os efeitos de atrito no eixo da roldana e considere o fio ideal.

A força Equation é tal que suspende a esfera oca ao longo da rampa com uma aceleração de centro

de massa constante Equation .

Equation Determine a energia cinética da esfera oca dois segundos após o início do movimento.

Equation Determine o vetor momento angular final da esfera oca, em relação ao seu centro de massa, dois segundos após o início do movimento.

Equation Faça o diagrama do corpo livre para a esfera oca e para a roldana e escreva as equações que regem os movimentos destes corpos.

Equation Obtenha o módulo da força Equation aplicada à manivela.

Passo 1

Equation Equation

A energia cinética da esfera que está rolando pode ser dividida em energia cinética de translação e de rotação, se liga!

Equation

Equation

Antes de partir para a substituição, temos que determinar o momento de inércia e a velocidade do centro de massa para Equation !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar a velocidade, nada melhor do que a boa e velha cinemática!

Equation

Equation

ou seja:

Equation

Vamos agora achar o momento de inércia!

Equation

Equation

Equation

Passo 3

Agora que temos todos os valores, podemos achar a energia cinética!

Equation

Equation

Calma, o Equation não saiu da cartola! É só lembrar que Equation !

Equation

Passo 4

Equation Equation

Para determinar o vetor momento angular para Equation , devemos lembrar de sua definição, Equation . Como a gente ja calculou o momento de inércia e a velocidade angular no item Equation , fica bem mais fácil!

Equation

A intensidade do momento angular é dada por

Equation

Equation

Já o vetor do momento angular é dado por

Equation

De onde surgiu essa direção e sentido?! Como a gente sabe que a rotação se dá no sentido horário, pois a esfera está subindo a rampa, e pela regra da mão direita, a velocidade angular da esfera aponta para dentro da página!

Passo 5

Equation Equation

O movimento da Roldana é apenas rotacional, portanto, vamos começar por ela!

Pela segunda Lei de Newton para rotações, temos:

Equation

Ou seja:

Equation

simplificando:

Equation

Lembrando, que como o rolamento é suave, podemos usar Equation !

Passo 6

Agora vamos para as equações que regem o movimento da esfera. Lembrando que agora temos movimento rotacional e translacional, por isso vamos começar com o rotacional!

Equation

Equation

Simplificando:

Equation

Agora vamos para o movimento translacional! Como não existe movimento em Equation , podemos partir direto para a componente Equation !

Em Equation , temos:

Equation

Equation

Só para confirmar, em Equation , temos:

Equation

Passo 7

Equation Equation

Para determinar o módulo da força Equation , vamos usar as equações obtidas no item c!

Equation

Equation

Equation

Somando as três equações, isso tudo para poder cancelar os termos desconhecidos, temos:

Equation

Isolando a força e substituindo os valores, temos:

Equation

Equation

Resposta

Equation Equation

Equation Equation

Equation

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

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