Exercícios Resolvidos de Momento Angular

PUCRIO, Física B - FIS1026, P3 - 2013.1, Questão 1

Um mastro de uma bandeira pode ser modelado por um ahaste homogênea de massa Equation e comprimento Equation que tem presa em sua extremidade uma esfera sólida homogênea de massa Equation e raio Equation . O mastro está preso em sua outra extremidade a uma parede no ponto P, fazendo um ângulo Equation com a horizontal, como ilustra a figura. Utilize g para a aceleração da gravidade.

Equation Calcule o momento de inércia rotacional do mastro em torno a um eixo perpendicular ao plano do papel (eixo Equation ) que passe pelo ponto Equation .

Equation Calcule o vetor torque que a força da gravidade faz no mastro em relação ao ponto P.

Equation Suponha que, devido a algum defeito na fixação da esfera, a mesma se solte da extremidade e caia verticalmente. Calcule o momento angular da esfera em relação aoponto P após ela ter caído durante um intervalo de tempo Equation .

Passo 1

Equation Equation

Para resolver esse item, devemos lembrar do teorema dos eixos paralelos, lembra!?

Equation

Para os corpos que temos, fica:

Equation

Note que primeiro fizemos da haste e depois da esfera, sacou?

Equation

Essa foi tranquila! Vamos para o item b!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation

Para resolver essa, precisamos lembrar da definição de torque, Equation . Como o mastro é composto por dois corpos, a haste e a esfera, o torque total é a soma dos dois, se liga!

Equation

Equation

Equation

A direção e o sentido do vetor torque foram achados usando a regra da mão direita! Note que o vetor aponta para dentro do papel, e de acordo com o eixo indicado no enunciado, sabemos que deve ser Equation .

Passo 3

Equation Equation

Para descobrir qual o momento angular da esfera, vamos primeiro relembrar sua definição, Equation . Como precisamos descobrir o vetor posição da esfera para um tempo Equation , vamos recorrer a boa e velha cinemática. Então vamos achar as componente Equation e Equation separadamente:

Equation

Equation

Entendeu o porquê tem aquele termo no fim da eaquação para a componente Equation ? Sim...pois a esfera está caindo com a aceleração da gravidade, extamente isso! Agora já temos o vetor Equation !

Equation

Passo 4

Agora que temos o vetor posição, falta o vetor momento linear, mas como sabemos, Equation . Ou seja precisamo achar o vetor velocidade, mas a cinemática também responde isso para a gente!

Equation

Equation

Equation

Agora podemos achar o momento angular:

Equation

Parece difícil, mas não é! Como temos um produto vetorial, ficamos apenas com:

Equation

Resposta

Equation Equation

Equation Equation

Equation

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