Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

17) Seja f : R 3 → R de classe C 2 . Seja W um sólido e seja S a fronteira de W , com normal exterior n → . Prove que

∬ S   ∂ f ∂ n → d S = ∭ W   ∇ 2 f   d x d y d z

Onde ∂ f ∂ n → é a derivada direcional de f na direção do vetor n → .

Passo 1

Caraca, quando batemos o olho nessa igualdade entre uma integral de superfície e uma tripla, o que podemos pensar? No Teorema de Gauss 😉

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v   F →   d x d y d z

Então perceba que precisamos arrumar um jeito de se obter essa igualdade, pois se obtida, está provada pelo teorema de Gauss, sacou? Então venha comigo 😊

Passo 2

Pow, primeiro, vou precisar que você relembre o que é uma derivada direcional: é a derivada que tá não na direção de x ou y , é a derivada que tá na direção de um vetor unitário qualquer n →

∂ f ∂ n →

Pela definição de derivada direcional, podemos calcula-la fazendo o produto escalar entre o vetor normal e o gradiente da função.

∂ f ∂ n → = ∇ f ⋅ n →

Na integral de superfície...

∬ S   ∂ f ∂ n → d S = ∬ S   ∇ f ⋅ n →   d S

HUMMM! Veja que interessante esse dado! Se chamarmos o gradiente de um campo de vetores de F →

∇ f = F →

Então...

∬ S   ∇ f ⋅ n →   d S = ∬ S   F → ⋅ n →   d S

Veja que isso pode ser feito perfeitamente, afinal o gradiente é um vetor e F → também 😉! Inclusive, apenas de curiosidade, campos F → que tem essa característica são os tais de campos conservativos, se lembra?

Passo 3

Por outro lado, na integral tripla, precisamos de ter isso aqui...

∭ W   d i v   F →   d x d y d z

O divergente de F → é dado matematicamente falando pelo produto escalar entre o operador e o F → . Essa é a definição dele, ok?

d i v   F → = ∇ ⋅ F → =

∇ ⋅ ∇ f =

∇ 2 f

Esse operador ∇ 2 recebe um nome especial... Recebe o nome de Laplaciano!

Bem, pelo Teorema de Gauss, então podemos afirmar que...

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∭ W   d i v   F →   d x d y d z       →

∬ S   ∂ f ∂ n → d S = ∭ W   ∇ 2 f   d x d y d z

Sacou? 😉

Resposta

∬ S   ∂ f ∂ n → d S = ∭ W   ∇ 2 f   d x d y d z

Prova pelo Teorema de Gauss.

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