Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de

F x , y , z = cos ⁡ z + x y 2 i + x e - z   j + s e n   y + x 2 z k

Através da superfície do sólido limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um gráfico dessa região. Temos um paraboloide com simetria em z virado para cima e o plano z = 4 :

Como a região limitada por S é fechada, sendo S orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V

Passo 2

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

F x , y , z = cos ⁡ z + x y 2 i + x e - z   j + s e n   y + x 2 z k

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = y 2 + 0 + x 2 = x 2 + y 2

Passo 3

Agora vamos montar a integral

∬ S   F → . d s = ∭ w   x 2 + y 2   d x d y d z

Onde W é o volume que vimos no passo 1.

Passo 4

Vamos agora, descrever essa região W . Bom, escrever em coordenadas cartezianas vai dar um pouco de trabalho né. Como a região tem simetria em relação ao eixo z e como temos termos quadráticos na integral, vamos usar coordenadas cilíndricas, você vai ver que a equação do paraboloide vai ficar bem simples nessas coordenadas.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

Substituindo em z = x 2 + y 2 , temos;

z = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ

z = r 2

Certo. Agora, olhando para o desenho, vemos que a coordenada z varia desde o paraboloide z = r 2 até o plano z = 4 , portanto, r 2 ≤ z ≤ 4 .

Como temos uma volta completa no plano x y , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

O raio r varia desde o eixo z , onde r = 0 até o seu máximo no topo da região, onde temos a circunferência no plano z = 4 . Para descobrir esse valor máximo do raio, vamos, então, substituir z = 4 na equação do paraboloide:

4 = x 2 + y 2

Como vemos, temos uma circunferência de raio r = 2 lá em cima, portanto, 0 ≤ r ≤ 2 .

Isso nos dá

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 r d z d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 r 3 d z d r d θ =

Passo 5

Agora vamos resolver a integral:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 z r 2 4 d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r 3 - r 5 d r d θ =

= ∫ 0 2 π r 4 - r 6 6 0 2 d θ = = ∫ 0 2 π 16 - 64 6 d θ =

= 2 π 16 - 64 6 =

= 32 π 3

Resposta

32 π 3

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