Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

4) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

onde F → x ,   y ,   z = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → , S é a superfícei esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 e n → a orientação normal exterior a S .

Passo 1

Bem, o problema quer claramente que busquemos a resolução da integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Normalmente o Teorema de Gauss é mais fácil e mais rápido, mas a princípio não temos como garantir que método é mais fácil. Mas uma boa dica de qual caminho tomar é sempre calculando o divergente:

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z

Como

F → x ,   y ,   z = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → = F 1 i → +   F 2 j → +   F 3 k →

Calculando as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = 3 x 2

∂ F 2 ∂ y = 3 y 2

∂ F 2 ∂ z = 3 z 2

Logo...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 =

3 x 2 + y 2 + z 2

Pow, com um divergente simples e convidativo (se parece com a equação da esfera) sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

∬ S   F → ⋅ n →   d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada S delimitando o sólido W :

Se desenharmos S como o problema nos sugeriu:

Yes! A superfície é fechada.

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F → x ,   y ,   z = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k →

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado.

Passo 3

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

∬ S   F → ⋅ n →   d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho. Acredite em mim !

Passo 4

∭ W   d i v   F →   d V = ∭ W   3 x 2 + y 2 + z 2   d V

Como estamos falando de uma esfera, podemos utilizar as mudanças para coordenadas esféricas:

x = ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

Onde o Jacobiano dessa mudança é:

J = ρ 2 sin ⁡ φ

E uma equação que nos ajuda muito é a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Passo 5

Não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:

Comparando essa imagem explicativa de onde as coordenadas esféricas variam com a esfera que a gente tem...

podemos perceber que o ρ varia da origem e vem até a casca da nossa esfera...

0 ≤ r ≤ 1

E o ângulo θ , bem, esse cara tá dando uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já variação do φ , esse varia lá de cima até lá em baixo dando uma volta total de 180 ° ...

0 ≤ φ ≤ π

Passo 6

Voltando então para a integral que devemos resolver:

∭ W   3 x 2 + y 2 + z 2 d V =

Substituindo tudo (inclusive não se esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano)...

∭ W   3 x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 π 3 ρ 2 ⋅ J d φ d ρ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 π 3 ρ 2 ⋅ ρ 2 sin ⁡ φ d φ d ρ d θ =

Calculando a integral de dentro em φ ...

3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 4 ∫ 0 π sin ⁡ φ d φ d ρ d θ = 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 4 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 d ρ d θ =

3 ⋅ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 4 d ρ d θ = 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 4 d ρ d θ =

6 ∫ 0 2 π ρ 5 5 0 1 d θ =

6 5 ∫ 0 2 π d θ = 12 5 π

Logo, pelo Teorema de Gauss concluímos que...

∬ S   F → ⋅ n →   d S = 12 5 π

Resposta

12 5 π

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