Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Considere o campo vetorial

F = z 2 , 2 y z , 4 cos ⁡ x .

Seja a ∈ ( 0,1 ) uma constante. Determine o fluxo de F através da superfície S definida como a fronteira da região

W = x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     z ≤ a 1 - a 2 x 2 + y 2

Passo 1

Como o problema pede para calcularmos o fluxo de F através da superfície S , na verdade, ele está pedindo para calcularmos:

∬ S   F → . n → d S

E como se trata de uma superfície fechada, podemos usar o Teorema de Gauss, que diz que:

∬ S   F → . n →   d s = ∭ w   d i v F →   d V

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Passo 2

F = z 2 , 2 y z , 4 cos ⁡ x

Vamos começar calculando as derivadas parciais dos componentes de F   → para o divergente.

F 1 = z 2 → ∂ F 1 ∂ x = 0

F 2 = 2 y z →   ∂ F 2 ∂ y = 2 z

F 3 = 4 cos ⁡ x → ∂ F 3 ∂ z = 0

Portanto,

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 2 z

Passo 3

A nossa região W é dada por:

W = x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,     z ≤ a 1 - a 2 x 2 + y 2

Isso significa que é a região no interior da esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

E fora do cone

z ≤ a 1 - a 2 x 2 + y 2

O resultado é algo do tipo:

Passo 4

∬ S   F → . n →   d s = ∭ w   d i v F →   d V = ∭ W 2 z   d x d y d z

Como o nosso sólido é a parte de uma esfera, podemos usar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

J = ρ 2 sen ⁡ ϕ

Vamos usar o que o problema nos disse sobre a região W para descobrir os limites de ρ , ϕ e θ .

Passo 5

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Substituindo as coordenadas esféricas:

ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ≤ 1

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ ≤ 1

sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1

ρ 2 ≤ 1

0 ≤ ρ ≤ 1

Passo 6

Ok, o que podemos fazer também é encontrar a interseção entre as superfícies:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 → x 2 + y 2 = 1 - z 2

z = a 1 - a 2 x 2 + y 2 → x 2 + y 2 = z 2 1 - a 2 a 2

Igualando os dois termos:

1 - z 2 = z 2 1 - a 2 a 2

a 2 1 - z 2 = z 2 ( 1 - a 2 )

a 2 - a 2 z 2 = z 2 - a 2 z 2

z 2 = a 2

z = a

A interseção ocorre no plano z = a .

Como, de acordo com as coordenadas esféricas z = ρ cos ⁡ ϕ , a interseção ocorre quando

ρ = 1

z = cos ⁡ ϕ 0 = a

ϕ 0 = arccos ⁡ a

Então podemos ver inclusive no gráfico que

ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π

Ah! Como não existem restrições para θ vamos utilizar os seus limites usuais:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 7

Ah! Existem outras maneiras de se encontrar esse ângulo ϕ 0 , então não precisa decorar do jeito que eu fiz.

Por exemplo, se você tenta usar só a equação:

z = a 1 - a 2 x 2 + y 2

Substituindo as coordenadas esféricas, você encontraria algo do tipo (já vou dar uma simplificada aqui, ok?):

cos ⁡ ϕ = a 1 - a 2 sen ⁡ ϕ

tan ⁡ ϕ = 1 - a 2 a

Nesse caso,

ϕ 0 = arctan ⁡ 1 - a 2 a

Po! Mas deu diferente, e agora?!

Cara, fica tranquilo, estamos falando do mesmo ângulo, então relaxa.

Uma outra forma seria igualar

z = 1 - x 2 - y 2

z = a 1 - a 2 x 2 + y 2

Substituindo as coordenadas esféricas, você encontraria algo do tipo (já vou dar uma simplificada aqui de novo, beleza?):

1 - ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ = a 2 1 - a 2 ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ

1 - ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ - a 2 + a 2 ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ = a 2 ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ

ρ 2 sen 2 ⁡ ϕ = 1 - a 2

Considerando ρ = 1 (na superfície da esfera):

sen ⁡ ϕ = 1 - a 2

ϕ 0 = arcsen ⁡ 1 - a 2

Então

ϕ 0 = arccos ⁡ a = arcsen ⁡ 1 - a 2 = arctan ⁡ 1 - a 2 a

Dá no mesmo, estamos falando do mesmo ângulo.

Viu?! =]

Passo 8

Voltando pra integral:

∭ W 2 z   d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ ϕ 0 π ∫ 0 1 2 ρ cos ⁡ ϕ . ρ 2 sen ⁡ ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

= 2 ∫ 0 2 π ∫ ϕ 0 π ∫ 0 1 ρ 3 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

= 2 ∫ 0 2 π ∫ ϕ 0 π ρ 4 4 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ 0 1   d ϕ   d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ ϕ 0 π cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ   d ϕ   d θ

Por substituição:

u = sen ⁡ ϕ

d u = cos ⁡ ϕ   d ϕ

Voltando pra integral:

= 1 2 ∫ 0 2 π ∫ u   d u   d θ

= 1 2 ∫ 0 2 π u 2 2   d θ

= 1 2   sen 2 ⁡ ϕ 2 ϕ 0 π ∫ 0 2 π d θ

= 1 2   sen 2 ⁡ ϕ 2 ϕ 0 π θ 0 2 π

= 1 4   ( sen 2 ⁡ π - sen 2 ⁡ ϕ 0 ) ( 2 π - 0 )

Onde:

sen ⁡ π = 0

sen ⁡ ϕ 0 = 1 - a 2

Portanto:

= π 2   0 - 1 - a 2

= - π 2   1 - a 2

Resposta

∬ S   F → . n →   d s = - π 2   1 - a 2

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