Calculo 3 – USP – P2
Seja , com ,
Analise as seguintes afirmações:
- , para qualquer esfera , com e e orientada com normal exterior.
- , para qualquer cubo , com , com e orientado com normal exterior.
- , para qualquer cilindro , , com , , orientado com normal exterior.
É correto afirmar que
Escolha uma:
- Apenas a afirmação I é verdadeira.
- Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
- Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
- Apenas a afirmação II é verdadeira.
- Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
Vamos lá para mais uma questão! Vamos começar devagar então. Vamos tentando resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.
Esta é uma questão que começa assustando bastante. Que diabos de integral de superfície é essa? E esses termos ? Como que a gente procede em relação a eles? O que é esse operador ???
São muitas dúvidas antes mesmo de começarmos a questão. E, na verdade, essa é a dificuldade dela. Depois que a gente passar por isto, tudo vai fluir facilmente.
Sendo assim, vamos começar por identificar . Este operador identifica um produto vetorial. Portanto, ao realizarmos o produto vetorial de , por exemplo, vamos obter o seguinte vetor:
Isto é, um vetor unitário na direção de e multiplicado por . Podemos repetir o mesmo para os outros produtos vetoriais. Vamos obter então:
Portanto, a nossa integral é:
Sendo . E agora já foi a parte mais difícil.
Passo 2
Agora podemos partir para a parte das afirmações em si, podemos já fazer as contas!
Só que, esta questão tem uma grande sacada, a qual envolve as três afirmações ao mesmo tempo. Percebam que a nossa função daria um grande trabalho de integrarmos em relação as superfícies dadas no enunciado.
Como todas as superfícies são fechadas, e o nosso campo satisfaz as condições de uso do Teorema do Divergente, podemos utiliza-lo para resolver a questão. Este teorema nos diz que:
Portanto, o nosso grande trabalho será calcularmos o divergente da função. Só que, ao calcularmos ele, verificaremos que algo especial acontecerá. E esta é exatamente a sacada da questão.
Passo 3
Sendo assim, vamos calcular o divergente da nossa função. Logo, temos:
Portanto, o divergente da nossa função é identicamente nulo! Sendo assim, pelo teorema da divergência, temos:
Independetemente da superfície . Sendo assim, todas as afirmações são falsas (letra e)!
Resposta
todas as afirmações são falsas (letra e)!
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