Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Use o Teorema do divergente para determinar o fluxo de

F x , y , z = x 4   i → - x 3 z 2   j → + 4 x y 2 z   k → ,

Através da superfície S delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos z = x + 2 e z = 0 , com vetor normal exterior.

Passo 1

Calcular o fluxo do campo através de uma superfície é calcular a integral de superfície vetorial, e o teorema do divergente diz que a gente pode calcular essa integral pela relação:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = ∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Então a ideia é que a gente só precisa montar e calcular a integral da direita, para então achar o valor da esquerda. Maneiro, né?

Maaas a gente precisa atender a alguns critérios para podermos aplicar esse teorema:

1. Nossa superfície precisa ser fechada. Mas repara que S é fechada sim. Ela é um cilindro. A base é o plano z = 0 e a tampa o plano z = x + 2 . Você pode conferir isso fazendo um esboço dessa superfície, se quiser:

2. A superfície precisa estar orientada positivamente. E o que é isso? O vetor normal a ela deve sempre apontar para o lado de fora. E o enunciado diz isso! O vetor normal à superfície é exterior a ela.

3. O campo precisa estar bem definido para o domínio de integração. Olha ele:

F x , y , z = x 4   i → - x 3 z 2   j → + 4 x y 2 z   k →

Não tem nenhum ponto de descontinuidade aí né (nenhum denominador que possa zerar ou algo assim). Então a gente pode confiar que ele está bem definido para o nosso domínio de integração, já que ele está bem definido para todos os valores de x , y , z .

Então, tá belezinha, a gente pode usar o teorema sem preocupações. Bora lá!

Passo 2

Vamos montar nossa integral tripla lindona:

∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Começando por d i v   F . Esse cara é o divergente do nosso campo. Ele tem essa fórmulinha:

d i v   F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Como o nosso campo é:

F x , y , z = F 1 , F 2 , F 3 = x 4 , - x 3 z 2 ,   4 x y 2 z

Então a gente calcula:

d i v   F = ∂ x 4 ∂ x + ∂ - x 3 z 2 ∂ y + ∂ 4 x y 2 z ∂ z

d i v   F = 4 x 3 + 0 + 4 x y 2 = 4 x x 2 + y 2

Nossa integral fica:

∫ ∫ ∫ W 4 x x 2 + y 2 d V

Passo 3

A gente tem que descrever o domínio W , que é essa região com formato de cilindro né? Como ela tem esse formato, nada mais justo que a gente fazer isso usando a mudança de coordenadas cilíndricas.

Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

x 2 + y 2 = r 2

j a c = r

Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: z ,   θ e r .

Vamos começar observando a variável z . Nesse eixo, vemos que nossa região está entre o plano z = 0 e o plano z = x + 2 . Então podemos escrever:

0 ≤ z ≤ x + 2

E aqui a gente já precisa aplicar nossa mudança de variáveis nesse x :

0 ≤ z ≤ r cos ⁡ θ + 2

Passo 4

E θ e r ? Definir elas é parecido com definir uma região em x y por coordenadas polares. A gente viu que estamos dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , então podemos escrever isso em uma inequação:

x 2 + y 2 ≤ 1

Substituindo nossas transformações nessa inequação:

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ ≤ 1 ∴ r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ ≤ 1

r 2 1 ≤ 1 ∴ r ≤ 1

E como não há mais restrições, podemos assumir que os dois começam de zero e que θ dá a volta completa:

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Belezinha?

Obs: a gente também podia limitar essas variáveis desse passo olhando o esboço da região x 2 + y 2 ≤ 1 em x y . Aí fica mais a seu critério mesmo. A gente chega no mesmo resultado.

Passo 5

Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

x 2 + y 2 = r 2

∫ ∫ ∫ W 4 x x 2 + y 2 d V

∫ ∫ ∫ W 4 r cos ⁡ θ r 2 d z d r d θ

Depois a gente multiplica o integrando por j a c = r

∫ ∫ ∫ V 4 r cos ⁡ θ r 2 r d z d r d θ

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

0 ≤ z ≤ r cos ⁡ θ + 2

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r cos ⁡ θ + 2 4 r 4 cos ⁡ θ d z d r d θ

Passo 6

Bora calcular essa belezura:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r cos ⁡ θ + 2 4 r 4 cos ⁡ θ d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 4 cos ⁡ θ 0 r cos ⁡ θ + 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 5 cos 2 ⁡ θ + 8 r 4 cos ⁡ θ d r d θ

∫ 0 2 π 4 6 r 6 cos 2 ⁡ θ + 8 5 r 5 cos ⁡ θ 0 1 d θ = ∫ 0 2 π 2 3 cos 2 ⁡ θ + 8 5 cos ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π 2 3 cos 2 ⁡ θ d θ + ∫ 0 2 π 8 5 cos ⁡ θ d θ = 2 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Aí a gente lembra daquela nossa amiga identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ + 1 2

∫ 0 2 π 2 3 cos 2 ⁡ θ d θ = 2 3 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ + 1 2 d θ = 1 3 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ + 1 d θ

1 3 s e n   2 θ 2 + θ 0 2 π = 2 π 3

Lembra que resultado era esse que a gente queria? A integral de superfície né? E finalmente a gente pode dizer que:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = 2 π 3

Resposta

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = 2 π 3

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