Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Dados o campo F → x , y , z = x z   i → + y z   j → - z 2 + z + e x 2 sen ⁡ y k → e a superfície fechada S que delimita o cilindro

E : x 2 + z 2 ≤ 9 ,   0 ≤ y ≤ 3

com a normal apontando para fora. Calcule:

(b) O fluxo de F → através de S .

Passo 1

Nossa região está com os eixos trocados, não é aquele cilindro normal que a gente geralmente desenha no eixo z , olha só como é o esboço desse aqui

Para calcular o fluxo de F → precisamos da integral de superfície sobre o cilindro. Veja que temos três superfícies distintas (duas tampas e o corpo), então calcular tudo isso da forma direta vai dar um trabalho desnecessário, além do campo F → ser bem complexo.

Vamos pensar num outro jeito de calcular essa integral de superfície... O teorema de Gauss parece uma boa solução, já que a superfície é fechada. Vamos calcular o divergente do campo pra ver se ele é simples também

d i v   F → = ∂ F 1 → ∂ x + ∂ F 2 → ∂ y + ∂ F 3 → ∂ z

= ∂ x z ∂ x + ∂ y z ∂ y + ∂ - z 2 + z + e x 2 sen ⁡ y ∂ z

= z + z - 2 z + 1

d i v   F → = - 1  

Bem mais simples, não é?

Só pra relembrar, o teorema de Gauss diz isso aqui

∬ S F → . n → d S = ∭ W d i v   F → d x d y d z = - ∭ W 1 d x d y d z

= - V o l u m e   d e   W

Onde S = ∂ W

Passo 2

Ficou bem mais tranquilo agora né? O nosso sólido é o cilindro de raio da base igual a 3 e altura 3 . Isso a gente sabe pelos seus limites

x 2 + z 2 ≤ 9

0 ≤ y ≤ 3

Da pra calcular o volume pela integral tripla normal, mas se você se lembrar lá do ensino médio, o volume de um cilindro é simples

V = A b a s e . h

V = π r 2 h

V = π 3 2 3 = 27 π

Passo 3

∬ S F → . n → d S = - V o l u m e   d e   W

∬ S F → . n → d S = - 27 π

Resposta

- 27 π

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