Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

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Enunciado

Seja F :   R 3 →   R 3   o campo vetorial definido por

F → x , y , z = 3 x + cos 2 ⁡ ( y z ) ,   - e x + z 2 + π , 5 x 2 + y 2   .

Considere E = x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 1 - x - y , x ≥ 0 , y ≥ 0 } e S a superfície que é a fronteira de E com orientação positiva. Calcule

∬ s F . n d S  

Passo 1

Vamos primeiro visualizar o que é E .

Da primeira equação

0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Olhando para a segunda desigualdade e considerando:

x = 0 , y = 0   e   z = 0 , separadamente, vamos ter respectivamente as equações:

z ≤ 1 - y

z ≤ 1 - x

y ≤ 1 - x

Isso nos plano y z , x z e x y terá a mesma forma:

Juntando a figura com as outras desigualdade x ≥ 0 e y ≥ 0   teremos o sólido:

Passo 2

Como queremos a integral de superfície do sólido E podemos utilizar o teorema de Gauss:

∬ s F   . d S → = ∭ E d i v F d x d y d z

Temos que primeiro verificar se todas as condições são satisfeitas:

  • A superfície deve ser fechada e assim definir um volume
  • Não deve possuir singularidade
  • A normal deve ser orientada para fora, no sentido contrário ao espaço definido pela superfície, sendo assim a orientação positiva.

No nosso caso todas as condições são satisfeitas.

Passo 3

Voltando para a equação do teorema de Gauss temos E é o espaço confinado pela superfície S .

Calculando o divergente do campo vetorial F :

d i v   F x , y , z = ∂ F 1 ∂ x x , y , z +   ∂ F 2 ∂ y x , y , z + ∂ F 3 ∂ z x , y , z

Onde:

F 1 = 3 x + cos 2 ⁡ ( y z )

F 2 = - e x + z 2 + π

F 3 = 5 x 2 + y 2

Realizando a conta do divergente podemos ver que o resultado é 3. Assim:

∭ E d i v F → d x d y d z = ∭ E 3 d x d y d z

Essa integral tripla da direita é nada mais nada menos que 3 vezes o volume do espaço E .

Passo 4

Para fazer o cálculo da integral tripla, vamos considerar que a região E é do tipo I pois z varia entre duas funções f 1 x , y = 0 e f 2 x , y = 1 - x - y .

Podemos escrever dessa forma:

E = { x , y , z ∈ R 3 | 0 ≤ z ≤ 1 - x - y , ( x , y ) ∈ D }

A região D é uma área que pode ser definida do tipo I   igual para integral dupla tendo x variando entre constante 0 ≤ x ≤ 1 e y variando entre duas funções   g 1 x = 0 e g 2 = 1 - x

Podemos escrever a região D   dessa forma:

E = { x , y ∈ R 2 | 0 ≤ y ≤ 1 - x , 0 ≤ x ≤ 1 }

A integral tripla então vai ficar:

∭ W 3 d x d y d z = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y d x d y d z =

= 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x z 0 1 - x - y d y d x =

= 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - y   d y d x =

= 3 ∫ 0 1 y - x y - y 2 2 0 1 - x d x =

= 3 ∫ 0 1 1 - x - x 1 - x - 1 - x 2 2 d x =

= 3 ∫ 0 1 1 2 - x + x 2 2 d x =

= 3 1 2 x - x 2 2 + x 3 6 0 1 =

= 1 2

Resposta

1 2

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