Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

Ver Teoria

Enunciado

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo ∬ ∑ F →   .   d S → do campo

F → = 4 y e z 5 ,   - x e z 5 ,   5

através ∑ = x , y , z z = x 2 + y 2 4 ,   z ≤ 1 - x 2 4 - y 2 orientada pelo vector normal N →   tal que N →   . k ^ > 0 .

Passo 1

Pelo teorema de Gauss, nosso primeiro parra pode ser calcular o divergente pra ver com o que estamos lidando aqui.

d i v F = ( 0 ,   0 ,   0 )

Opa, um divergente igual a zero é uma belezinha pra gente.

Com isso a gente conclui que a parte da integral tripla do nosso teorema vai ser zero.

No entanto, se você for observar a superfície qu estamos trablahando, ela não é fechada, que é uma das condições que o teorema exige.

Então, pela regra do teorema, vamos precisar fechar nossa superfície.

Passo 2

Quando fechamos nossa superfície, o teorema fica:

∫ ∑ ∫ F   n   d s -   ∫ β ∫ F   n   d s = 0

∫ β ∫ F   n   d s =   ∫ ∑ ∫ F   n   d s  

Olhando pela definição de , é legal a gente pensar em fechar a superfície com o que limita ela.

∑ = x , y , z z = x 2 + y 2 4 ,   z ≤ 1 - x 2 4 - y 2 .

Vamos então trabalhar com z ≤ 1 - x 2 4 - y 2 . Começamos parametrizando, onda fazemos uma parametrização explícita mesmo.

σ x , y = x ,   y ,   1 - x 2 4 - y 2

Vamos precisar ver onde estão variando os parametros, pra isso limitamos essa nova superfície com a anterior. Assim, com a interseção:

1) z = x 2 + y 2 4

2) z = 1 - x 2 4 - y 2

x 2 + y 2 4 = 1 - x 2 4 - y 2

x 2 + y 2 = 4 5

Passo 3

Calculando então nosso vetor normal ficamos com:

N = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ y

∂ σ ∂ x = 1,0 , - 2 x 4

∂ σ ∂ y = 0,1 , - 2 y

N = i j k 1 0 - x 2 0 1 - 2 y

N = x 2 ,   2 y ,   1

Montando então a integral de linha ficamos com:

∫ β ∫ F   n   d s =   ∬ β 4 y e 1 - x 2 4 - y 2 5 ,   - x e 1 - x 2 4 - y 2 5 ,   5 x 2 ,   2 y ,   1   d x d y

= ∬ β 5   d x d y

= 5 . Á R E A ( β )

Passo 4

Para podermos determinar essa área vamos usar umas coordenadas polares rápidas onde:

x = r   c o s θ

y = r   s e n θ

J = r

β = x , y x 2 + y 2 = 4 5

Com isso vemos a variação de r   e   θ .

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 4 5

Remontando a integral ficamos com:

5 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 5 r   d r   d θ

Resolvendo essa integral encontramos então:

∬ ∑ F →   .   d S → = 4 π

Resposta

4 π

Exercícios de Livros Relacionados

Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
(Divergente em coordenadas polares) Seja Ω um campo aberto no semiplan
12 . a . Sejam u e v dois campos vetoriais de classe C1 em ℝ 3 ; seja