Exercícios Resolvidos de Teorema de Gauss

UFRJ - Cálculo 3 - PF 2014.1 - 4

Calcule a integral

∬ ∂ Ω F → . n → d S

Onde F → x , y , z = x - y + z , y - z + x ,   z - x + y , ∂ Ω é a fronteira da região

Ω = ( x , y , z ) | x - y + z 2 + y - z + x 2 + z - x + y 2 ≤ 1

Orientada com a normal n → exterior.

Passo 1

Como ∂ Ω é a fronteira de uma região (um volume), sabemos que essa superfície é fechada. Como o campo e a parametrização aqui são muito complicados, vamos tentar usar Gauss, ok?

Vamos começar calculando o divergente disso aí:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = 1 + 1 + 1 = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show, agora vamos aplicar o teorema:

∬ ∂ Ω   F → . n → d S = ∭ Ω   d i v F →   d V = 3 ∭ Ω   d V

Passo 3

Agora precisamos de uma mudança de variáveis. Repara que se a gente fizer a mudança:

x - y + z = u

y - z + x = v

z - x + y = w

A gente consegue fazer essa superfície virar uma esfera, viu?

Isso nos dá

u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1

Bom, precisamos do Jacobiano disso aí, temos:

x = u + v 2

y = v + w 2

z = u + w 2

O que nos dá:

∂ x ∂ u = 1 2

∂ x ∂ v = 1 2

∂ x ∂ w = 0

∂ y ∂ u = 0  

∂ y ∂ v = 1 2

∂ y ∂ w = 1 2

∂ z ∂ u = 1 2

∂ z ∂ v = 0

∂ z ∂ w = 1 2

Agora tem que saber calcular determinante, galera, não tem jeito. Vamos usar aquele método que selecionamos os termos da primeira linha e vamos calculando determinantes 2 × 2 e multiplicando pelos seus valores:

J = 1 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 = 1 2 × 1 4 + 1 2 × 1 4 + 0 = 1 8 + 1 8 = 1 4

Ufa.

Passo 4

Agora fazemos a mudança:

∬ ∂ Ω   F → . n → d S = 3 ∭ e s f e r a   1 4 d V = 3 4 V o l u m e e s f e r a

Como o volume da esfera de raio 1 é 4 3 π :

∬ ∂ Ω   F → . n → d S = π

Resposta

π

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